3愛媛大学 2025年 数学 第3問解答・解説

以下の問いに答えよ。

(1) 関数 $f(x)=x^{2}-2x+3$ について、放物線 $y=f(x)$ 上の点
$$\mathrm{A}(-1,\,f(-1)),\qquad \mathrm{B}(2,\,f(2))$$
における接線をそれぞれ $\ell_{1}$、$\ell_{2}$ とし、$\ell_{1}$ と $\ell_{2}$ の交点を $\mathrm{P}(p,\,q)$ とする。

(i) 直線 $\ell_{1}$ および $\ell_{2}$ の方程式を求めよ。

(ii) $p$ と $q$ の値を求めよ。

(iii) 放物線 $y=f(x)$ と直線 $\ell_{1}$ および直線 $x=p$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求めよ。

(iv) 放物線 $y=f(x)$ と直線 $x=p$ の交点を $\mathrm{C}$ とする。放物線 $y=f(x)$ と線分 $\mathrm{AC}$ で囲まれた図形の面積 $T$ を求めよ。

(2) $\mathrm{O}$ を原点とする座標空間上に点 $\mathrm{A}(1,\,2,\,3)$、$\mathrm{B}(3,\,4,\,5)$ をとり、$\vec{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$、$\vec{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ とおく。また、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta$ とする。

(i) $\vec{a},\,\vec{b}$ の大きさ $|\vec{a}|,\,|\vec{b}|$ および $\cos\theta$ の値を求めよ。

(ii) $\triangle\mathrm{OAB}$ の面積 $S$ を求めよ。

(iii) ベクトル $\vec{e}=(1,\,s,\,t)$ が $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の両方に垂直であるとき、実数 $s$ と $t$ の値を求めよ。

(iv) $\mathrm{O}$ を通り、平面 $\mathrm{OAB}$ と垂直な直線を $\ell$ とする。四面体 $\mathrm{OABC}$ の体積が 1 となるような、$\ell$ 上の点 $\mathrm{C}$ をすべて求めよ。