3弘前大学 2024年 数学 第3問解答・解説

$2x^{2}-3x+1=(2x-1)(x-1)$ の符号で絶対値を外す。(2) は $f(x)$ の符号が変わる点 $x=1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ で区間を分ける。端点の値は、$2\alpha^{2}=4\alpha-1$ を使って次数を下げると計算が楽になる。

(1)

$2x^{2}-3x+1=(2x-1)(x-1)$ より
$$f(x)=\begin{cases}2x^{2}-4x+1=2(x-1)^{2}-1 & \left(x\leqq\dfrac{1}{2},\ 1\leqq x\right)\\[2mm] -2x^{2}+2x-1=-2\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^{2}-\dfrac{1}{2} & \left(\dfrac{1}{2}<x<1\right)\end{cases}$$
グラフは、$x\leqq\dfrac{1}{2}$ では放物線 $y=2(x-1)^{2}-1$ の一部（$y$ 軸との交点 $(0,\,1)$、$x$ 軸との交点 $\left(1-\dfrac{\sqrt{2}}{2},\,0\right)$ を通り、$\left(\dfrac{1}{2},\,-\dfrac{1}{2}\right)$ に至る）、$\dfrac{1}{2}\leqq x\leqq1$ では上に凸の放物線の一部で $\left(\dfrac{1}{2},\,-\dfrac{1}{2}\right)$ から $(1,\,-1)$ に至り、$x\geqq1$ では放物線 $y=2(x-1)^{2}-1$ の一部（頂点 $(1,\,-1)$、$x$ 軸との交点 $\left(1+\dfrac{\sqrt{2}}{2},\,0\right)$）である。

(2)

$\alpha=1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ とおく。$0\leqq x\leqq\alpha$ で $f(x)\geqq0$、$\alpha\leqq x\leqq1$ で $f(x)\leqq0$ である。$g(x)=2x^{2}-4x+1$、$G(x)=\dfrac{2}{3}x^{3}-2x^{2}+x$ とすると
$$\int_{0}^{1}|f(x)|\,dx=\int_{0}^{\alpha}g(x)\,dx-\int_{\alpha}^{\frac{1}{2}}g(x)\,dx+\int_{\frac{1}{2}}^{1}(2x^{2}-2x+1)\,dx=2G(\alpha)-G(0)-G\left(\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{1}{3}.$$
$G\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{12}$。$g(\alpha)=0$ より $2\alpha^{2}=4\alpha-1$、$\alpha^{3}=\dfrac{7\alpha-2}{2}$ だから
$$G(\alpha)=\dfrac{7\alpha-2}{3}-(4\alpha-1)+\alpha=\dfrac{1-2\alpha}{3}=\dfrac{\sqrt{2}-1}{3}.$$
よって
$$\int_{0}^{1}|f(x)|\,dx=\dfrac{2(\sqrt{2}-1)}{3}-\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{8\sqrt{2}-5}{12}.$$