2鹿児島大学 2025年 数学 第2問解答・解説

対数の底を2にそろえて真数条件を保ち、(2)はt=x-2>0と置いて三次関数の増減から正の解の個数を数える。

(1) 真数条件は $3x+7>0$,\ $x+1>0$ であり、これらを合わせると $x>-1$ である。底の変換公式 $\log_8y=\frac13\log_2y$ より、与式は $$\log_2(3x+7)=2\log_2(x+1)=\log_2\bigl((x+1)^2\bigr)$$ となる。底 2 の対数は真数の増加関数なので、 $$3x+7=(x+1)^2,\qquad x^2-x-6=0,\qquad (x-3)(x+2)=0.$$ 候補 $x=3,-2$ のうち、定義域 $x>-1$ を満たすのは $x=3$ である。実際、$x=3$ のとき両辺はともに 4 となる。よって $x=3$。
(2) 真数条件は $3x+a-2>0$,\ $x-2>0$ であり、特に $x>2$ である。底の変換公式を用いると、 $$\frac{1}{3}\log_2(3x+a-2)=\log_2(x-2)$$ だから、 $$\log_2(3x+a-2)=\log_2\bigl((x-2)^3\bigr).$$ 対数の真数の一対一性から、これは $3x+a-2=(x-2)^3$ と同値である。逆に $x>2$ のもとでこの等式が成り立てば、左辺の真数は $(x-2)^3>0$ となり、真数条件も満たす。 ここで $t=x-2$ とおくと $t>0$ であり、方程式は $$a=t^3-3t-4$$ となる。$f(t)=t^3-3t-4$ とおけば、 $$f'(t)=3(t^2-1)=3(t-1)(t+1).$$ よって $0<t<1$ では f は減少し、$t>1$ では増加する。$f(1)=-6$ であり、$0<t<1$ では $-6<f(t)<-4$（$t\to0^+$ のとき $f(t)\to-4$）、$t>1$ では $f(t)>-6$ である。したがって $-6<a<-4$ なら、$0<t<1$ の範囲に解が1つ、$t>1$ の範囲に解が1つあり、異なる正の解はちょうど2つである。端点では、$a=-6$ のとき正の解は $t=1$ の1つだけであり、$a=-4$ のとき $t^3-3t=0$ より $t=\sqrt3$ の1つだけである。$a<-6$ では解がなく、$a>-4$ では $t>1$ の解が1つだけである。よって求める範囲は $-6<a<-4$。