1岩手医科大学 2024年 数学 第1問解答・解説

対数の中身を $t=\log_{2}x$ と置いて問題を実数 $t$ の二次式に直す。平方完成、判別式、整数の有限範囲の確認で各問を処理し、最後は指数関数の増加性で最大の $x$ を比較する。

問1 $x>0$ であるから、$t=\log_{2}x$ とおくと $t$ は実数全体を動き、$x=2^{t}$ である。$n=4$ のとき
$$f(x)=4t^{2}+12t+10=4\left(t+\dfrac{3}{2}\right)^{2}+1\geqq 1.$$
等号は $t=-\dfrac{3}{2}$ のときに成り立つので、このとき $x=2^{-3/2}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$ である。したがって最小値は 1 である。
問2 $n=0$ のとき $f(x)=12t+6$ であり、$t=-\dfrac{1}{2}$、すなわち $x=2^{-1/2}$ がただ1つの解である。$n\neq 0$ のとき、$t$ に関する二次方程式
$$nt^{2}+12t+n+6=0$$
がただ1つの実数解をもつための必要十分条件は判別式が 0 となることである。よって
$$144-4n(n+6)=0\quad\text{すなわち}\quad n^{2}+6n-36=0,$$
したがって $n=-3\pm 3\sqrt{5}$ となるが、これは整数ではない。ゆえに求める整数は $n=0$ である。
問3 $t=\log_{2}x$ とおくと、$x=2^{k}$ であることは $t=k$ と同値である。したがって
$$f(2^{k})=n(k^{2}+1)+12k+6=0,\qquad n=-\dfrac{12k+6}{k^{2}+1}.$$
$k$ は整数である。$|k|\geqq 13$ なら $k^{2}+1>|12k+6|$ である（$k\geqq 13$ では差 $k^{2}-12k-5$ が正、$k\leqq -13$ では差 $k^{2}-12|k|+7$ が正であり、いずれも絶対値が大きくなるほど増加する）。このとき $|n|<1$ となるので整数 $n$ は 0 に限られるが、$n=0$ とすると $12k+6=0$ となり、整数 $k$ は存在しない。よって $-12\leqq k\leqq 12$ だけを調べればよい。各 $k$ に対する $n$ の値は次表のとおりである。
$$\begin{array}{c|rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr} k&-12&-11&-10&-9&-8&-7&-6&-5&-4&-3&-2&-1&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\\hline n&\dfrac{138}{145}&\dfrac{63}{61}&\dfrac{114}{101}&\dfrac{51}{41}&\dfrac{18}{13}&\dfrac{39}{25}&\dfrac{66}{37}&\dfrac{27}{13}&\dfrac{42}{17}&3&\dfrac{18}{5}&3&-6&-9&-6&-\dfrac{21}{5}&-\dfrac{54}{17}&-\dfrac{33}{13}&-\dfrac{78}{37}&-\dfrac{9}{5}&-\dfrac{102}{65}&-\dfrac{57}{41}&-\dfrac{126}{101}&-\dfrac{69}{61}&-\dfrac{30}{29} \end{array}$$
整数 $n$ は $3,\,-6,\,-9$ の3種類であり、その最大値は 3 である。
問4 $t=\log_{2}x$ とする。$n=0$ なら $t=-\dfrac{1}{2}$ である。$n\neq 0$ のとき、実数解が存在する条件は
$$144-4n(n+6)\geqq 0\quad\text{すなわち}\quad n^{2}+6n-36\leqq 0.$$
この二次不等式の解は $-3-3\sqrt{5}\leqq n\leqq -3+3\sqrt{5}$ であり、整数 $n$ は $-9,\,-8,\,\cdots,\,3$ である。$R_{n}=\sqrt{36-n(n+6)}$ とおくと、解は
$$t=\dfrac{-6\pm R_{n}}{n}.$$
負の $n$ では大きい方の解は $\dfrac{6+R_{n}}{-n}$ である。$n=-1$ のときこれが $6+\sqrt{41}$ となる。$n\leqq -2$ では $R_{n}=\sqrt{45-(n+3)^{2}}\leqq\sqrt{45}<7$ だから、大きい方の解は $\dfrac{6+R_{n}}{-n}<\dfrac{13}{2}$ である。一方、正の $n$ では $R_{n}<7$ より大きい方の解 $\dfrac{-6+R_{n}}{n}<1$ であり、$n=0$ の解も $-\dfrac{1}{2}$ である。したがって、すべての場合で $t$ の最大値は $n=-1$ のときの $6+\sqrt{41}$ である。指数関数 $2^{t}$ は $t$ とともに増加するので、実数解 $x$ の最大値は
$$x=2^{6+\sqrt{41}}$$
である。