2獨協医科大学 2024年 数学 第2問解答・解説

指数関数の単調性と連続性を使って各項の値域に変換し、必要十分条件を区間または正の変数の値域で判定する。

$c=a+1$ とおくと、$a>0$ より $c>1$ である。

(1) $a=1,b=3,y=-x$ のとき、$t=4^x>0$ とおけば、与式は $t+t^{-1}=3$ となる。従って
$$t^2-3t+1=0,\qquad t=\frac{3\pm\sqrt5}{2}.$$
さらに $2^x=\sqrt t$ であり、$\sqrt{(3\pm\sqrt5)/2}=(\sqrt5\pm1)/2$ だから
$$x=\log_2\frac{\sqrt5\pm1}{2}.$$

(2) $y=1-x$ のとき、$u=c^{2x-1}>0$ とおくと、左辺は $c(u+u^{-1})$ となる。正の $u$ に対して $u+u^{-1}\geqq2$ であり、その値は2以上のすべての実数をとる。実際、$u+u^{-1}=b/c$ は $u^2-(b/c)u+1=0$ と同値で、正の解をもつのは $b/c\geqq2$ のときに限る。よって必要十分条件は
$$b\geqq2c=2a+2.$$

(3) $0\leqq x,y\leqq1$ なら$1\leqq c^{2x}\leqq c^2$、$1\leqq c^{2y}\leqq c^2$ であるため、$2\leqq b\leqq2c^2$ が必要である。逆にこの範囲なら $1\leqq b/2\leqq c^2$ である。関数 $c^{2x}$ は $0\leqq x\leqq1$ で連続に1以上 $c^2$ 以下のすべての値をとるので、ある $x$ を選び $c^{2x}=b/2$ とできる。$y=x$ とすれば条件を満たす。従って
$$2\leqq b\leqq2c^2=2a^2+4a+2.$$

(4) $0\leqq x\leqq1$ の任意の値に対し、$u=c^{2x}$ は $1\leqq u\leqq c^2$ のすべての値をとる。$0\leqq y\leqq1$ で条件を満たす $y$ が存在するための必要十分条件は、$1\leqq b-u\leqq c^2$ である。これが$1\leqq u\leqq c^2$ を満たす全ての $u$ で成り立つためには、端点で
$$b-c^2\geqq1,\qquad b-1\leqq c^2$$
が必要であり、合わせると $b=c^2+1$ となる。この値なら$1\leqq u\leqq c^2$ を満たす全ての $u$ に対して $1\leqq b-u\leqq c^2$ となるので十分でもある。従って
$$b=(a+1)^2+1=a^2+2a+2.$$