IV日本医科大学 2024年 数学 第IV問解答・解説

双曲線の接線と楕円の焦点を座標で求めて平面と弦を表す。楕円を単位円に移す相似的な座標変換で弦長を計算し、比の導関数の符号を二次式の根の条件に置き換える。

問1 $s=\sqrt{1+t^2}$ とおく。曲線 $C_1$ は $z=\sqrt{1+x^2}$ と表せるので、点 $P$ における接線の傾きは
$$\left.\frac{dz}{dx}\right|_{x=t}=\frac{t}{s}.$$
従って接線は
$$z-s=\frac{t}{s}(x-t) \quad\text{すなわち}\quad -tx+sz=1.$$
よって $\text{ア}=-t,\ \text{イ}=\sqrt{1+t^2}$ である。

問2 楕円 $C_2$ を標準形で書くと
$$\frac{x^2}{1/k^2}+\frac{y^2}{(k+1)/k^2}=1.$$
$k>0$ より長半径は $y$ 軸方向であり、焦点の $y$ 座標は
$$\sqrt{\frac{k+1}{k^2}-\frac1{k^2}}=\frac1{\sqrt k}.$$
従って $F=(0,1/\sqrt k,0)$ である。平面 $\pi$ は $y=0$ で $L_1$ と一致する形
$$-tx+cy+sz=1$$
と書ける。これが $F$ を通るため $c/\sqrt{k}=1$、すなわち $c=\sqrt{k}$。従って
$$\pi:\ -tx+\sqrt{k}\,y+\sqrt{1+t^2}\,z=1, \qquad \text{ウ}=\sqrt{k}.$$

問3 $L_1$ と $x=z$ の交点は
$$Q=(s+t,0,s+t),$$
また $L_1$ と $x=-z$ の交点は
$$R=(t-s,0,s-t).$$
従って
$$QR=\sqrt{(2s)^2+(2t)^2}=2\sqrt{1+2t^2}.$$

次に $L_2$ は $z=0$ と $\pi$ の交線なので
$$-tx+\sqrt{k}\,y=1.$$
座標を $X=kx,\ Y=ky/\sqrt{k+1}$ と変えると、$C_2$ は単位円 $X^2+Y^2=1$、直線 $L_2$ は
$$-tX+\sqrt{k(k+1)}\,Y=k$$
となる。ここで $D=\sqrt{t^2+k(k+1)}$ とおくと、この直線の法線ベクトルの長さは $D$、原点から直線までの距離は $k/D<1$ である。単位円上の弦の長さは $2\sqrt{1-k^2/D^2}$ で、その方向は $(\sqrt{k(k+1)},t)$ に平行である。よって変換後の端点差は
$$(\Delta X,\Delta Y) =\frac{2\sqrt{1-k^2/D^2}}{D}\bigl(\sqrt{k(k+1)},t\bigr).$$
元の座標に戻すと
$$\begin{aligned} ST^2 &=\left(\frac{\Delta X}{k}\right)^2 +\left(\frac{\sqrt{k+1}\,\Delta Y}{k}\right)^2\\ &=\frac{4(1-k^2/D^2)(k+1)(k+t^2)}{k^2D^2} =\frac{4(k+1)(k+t^2)^2}{k^2D^4}. \end{aligned}$$$$S{T}^2={\left(\frac{\Delta X}{k}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{k+1}\Delta Y}{k}\right)}^2$$$$=\frac{4(1-k^2/D^2)(k+1)(k+t^2)}{k^2{D}^2}=\frac{4(k+1)(k+t^2{)}^2}{k^2{D}^4}.$$
したがって
$$ST=\frac{2\sqrt{k+1}(k+t^2)}{k\{t^2+k(k+1)\}}.$$

問4 $u=t^2$ とおくと
$$f_k(t)=\frac{\sqrt{k+1}}{k} \frac{u+k}{\{u+k(k+1)\}\sqrt{1+2u}}.$$
$t>0$ では $u=t^2$ は増加するので、$f_k'(t)$ の符号は次の $u$ 微分の符号と一致する。
$$\frac{d}{du}\left( \frac{u+k}{\{u+k(k+1)\}\sqrt{1+2u}} \right) = -\frac{h(u)}{\{u+k(k+1)\}^2(1+2u)^{3/2}},$$
ただし
$$h(u)=u^2-k(k-2)u+k^3.$$
分母は正であるから、極値が生じるには $h(u)$ が $u>0$ に異なる二つの根をもつことが必要であり、そのとき導関数の符号は根を通るたびに変わる。判別式は
$$\Delta=k^2(k^2-8k+4).$$
根の積は $k^3>0$、根の和は $k(k-2)$ である。よって正の異なる根があるための条件は $\Delta>0$ かつ $k>2$ である。これは
$$k^2-8k+4>0,\quad k>2 \quad\text{すなわち}\quad k>4+2\sqrt3$$
と同値である。このとき $h$ は正、負、正と符号を変えるので、$f_k$ は $t>0$ で極小値と極大値をとる。等号 $k=4+2\sqrt3$ では $h$ は正の重根をもち、導関数の符号は変わらない。従って必要十分条件は
$$\boxed{k>4+2\sqrt3}.$$