6愛媛大学 2023年 数学 第6問解答・解説

以下の問いに答えよ。
(1) $n$ を自然数とする。連立不等式
$$\begin{cases} y\geqq0,\\ y\leqq x(2n-x) \end{cases}$$
の表す領域を $D_{n}$ とし、$D_{n}$ に属する格子点の個数を $a_{n}$ とする。ただし、座標平面上の点 $(x,y)$ において、$x,y$ がともに整数であるとき、点 $(x,y)$ を格子点という。
(i) $D_{2}$ を図示せよ。
(ii) $a_{2}$ を求めよ。
(iii) $k$ を $0\leqq k\leqq2n$ を満たす整数とする。$D_{n}$ と直線 $x=k$ の共通部分に属する格子点の個数を $k,n$ を用いて表せ。
(iv) $a_{n}$ を求めよ。
(v) 直線 $y=0$ と曲線 $y=x(2n-x)$ とで囲まれた図形の面積を $b_{n}$ とする。このとき、$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{b_{n}}{a_{n}}$ を求めよ。
(2) $\alpha$ を $0<\alpha<\pi$ を満たす実数とする。また、$\theta$ を $0\leqq\theta\leqq\alpha$ を満たす実数とする。点 $O$ を原点とする座標平面上において、単位円を考える。単位円の周上に点 $A$ をとる。さらに、$O$ を中心として、時計の針の回転と逆の向きに、
$A$ を $\dfrac{\pi}{2}$ だけ回転した点を $B$、
　 $A$ を $\alpha$ だけ回転した点を $C$、
　 $A$ を $\theta$ だけ回転した点を $P$、
　 $A$ を $\theta+\dfrac{\pi}{2}$ だけ回転した点を $Q$
とする。$\vec{a}=\overrightarrow{OA},\ \vec{b}=\overrightarrow{OB},\ \vec{c}=\overrightarrow{OC},\ \vec{p}=\overrightarrow{OP},\ \vec{q}=\overrightarrow{OQ}$ とする。
　 (i) 内積 $\vec{p}\cdot\vec{q},\ \vec{q}\cdot\vec{q}$ を求めよ。
　 (ii) 内積 $\vec{c}\cdot\vec{q}$ を $\alpha,\theta$ を用いて表せ。
　 (iii) 実数 $s,t$ を用いて、$\vec{c}=s\vec{p}+t\vec{q}$ と表すとき、$t$ を $\alpha,\theta$ を用いて表せ。
　 (iv) (iii) で求めた $t$ を用いて、$\vec{r}=t\vec{q}$ とおく。実数 $u,v$ を用いて、$\vec{r}=u\vec{a}+v\vec{b}$ と表すとき、$u$ を $\alpha,\theta$ を用いて表せ。
　 (v) (iv) で求めた $u$ を用いて、$\vec{d}=u\vec{a}$ とおく。$\alpha=\dfrac{\pi}{6}$ のとき、$\vec{d}$ の大きさ $|\vec{d}|$ の最大値を求めよ。