2大阪大学 2026年 数学 第2問解答・解説

(1) $\vec a,\vec b,\vec c$ は一次独立である。実際、$\vec b,\vec c$ はなす角が $60^\circ$ なので平行でなく、$\vec a$ はその両方に垂直である。$\overrightarrow{OP}=x\vec a+y\vec b+z\vec c$ とおくと、内積条件から
$$x=-1,\qquad y+\frac z2=1.$$
この座標で $A=(1,0,0),D=(0,t,0),E=(0,0,2t+1)$ である。$t>0$ より三点は一直線上になく、平面 $ADE$ の方程式は
$$x+\frac yt+\frac z{2t+1}=1.$$
$P$ もこの平面上なので、$x=-1$ を代入して
$$\frac yt+\frac z{2t+1}=2.$$
$y=1-z/2$ を代入し整理すると $z=2-8t^2$、$y=4t^2$ となる。したがって
$$\boxed{\overrightarrow{AP}=-2\vec a+4t^2\vec b+(2-8t^2)\vec c}.$$

(2) $|\vec a|=|\vec b|=|\vec c|=1$、$\vec a\cdot\vec b=\vec a\cdot\vec c=0$、$\vec b\cdot\vec c=1/2$ より
$$\begin{aligned} |\overrightarrow{AP}|^2 &=4+(4t^2)^2+(2-8t^2)^2+(4t^2)(2-8t^2)\\ &=48t^4-24t^2+8\\ &=3(4t^2-1)^2+5\geqq5. \end{aligned}$$$$|\overrightarrow{AP}{|}^2=4+(4t^2{)}^2+(2-8t^2{)}^2+(4t^2)(2-8t^2)$$$$=48t^4-24t^2+8$$$$=3(4t^2-1{)}^2+5\geqq 5.$$
等号は $t>0$ の範囲で $t=1/2$ のときに限り成り立つ。従って $|\overrightarrow{AP}|$ を最小にする値は $t=1/2$、最小値は $\boxed{\sqrt5}$ である。