6長崎大学 2024年 数学 第6問解答・解説

$xy$ 座標平面上において、$x$ 軸上に点 $\mathrm{P}_{1}(a_{1},\,0)$（ただし、$a_{1}>2$）がある。関数 $f(x)$ を $f(x)=x^{3}-8$ とするとき、$x=a_{1}$ における曲線 $C:y=f(x)$ 上の点を $\mathrm{Q}_{1}(a_{1},\,f(a_{1}))$ とする。また、$\mathrm{Q}_{1}$ における $C$ の接線 $l_{1}$ が $x$ 軸と交わる点を $\mathrm{P}_{2}(a_{2},\,0)$ とする。さらに、$x=a_{2}$ における $C$ 上の点を $\mathrm{Q}_{2}(a_{2},\,f(a_{2}))$ とし、$\mathrm{Q}_{2}$ における $C$ の接線 $l_{2}$ が $x$ 軸と交わる点を $\mathrm{P}_{3}(a_{3},\,0)$ とする。このような操作を繰り返して得られる数列 $\{a_{n}\}$ を考える。以下の問いに答えよ。

(1) 点 $\mathrm{Q}_{n}(a_{n},\,f(a_{n}))$ における曲線 $C$ の接線 $l_{n}$ の方程式を $a_{n}$ を用いて表せ。

(2) $a_{n+1}$ を $a_{n}$ を用いて表せ。

(3) すべての自然数 $n$ に対して、$a_{n}>2$ が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ。

(4) すべての自然数 $n$ に対して、$a_{n}>a_{n+1}$ を示せ。

(5) すべての自然数 $n$ に対して、$a_{n+1}-2<\dfrac{2}{3}(a_{n}-2)$ を示し、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}$ を求めよ。