3浜松医科大学 2024年 数学 第3問解答・解説

(1) $H_N=\sum_{k=1}^N1/k$、$H_0=0$ とおく。偶数番目の項の符号を反転することに注意すれば
$$\sum_{k=1}^{2m}\frac{(-1)^{k-1}}k=H_{2m}-2\sum_{j=1}^m\frac1{2j}=H_{2m}-H_m=\sum_{k=1}^m\frac1{m+k}.$$
奇数の場合も
$$\sum_{k=1}^{2m-1}\frac{(-1)^{k-1}}k=H_{2m-1}-H_{m-1}=\sum_{k=1}^m\frac1{m-1+k}.$$

(2) 偶数番目までの部分和は
$$\frac1m\sum_{k=1}^m\frac1{1+k/m}\longrightarrow\int_0^1\frac{dx}{1+x}=\log2.$$
奇数番目までの部分和との差は $1/(2m)\to0$ だから、全体としても $\log2$ に収束する。

(3) 並べ替え後の第 $3m$ 項までの部分和は、正の項 $1,1/3,\ldots,1/(2m-1)$ と負の項 $-1/2,-1/4,\ldots,-1/(4m)$ を含む。従って
$$T_{3m}=H_{2m}-\tfrac12H_m-\tfrac12H_{2m}=\tfrac12(H_{2m}-H_m)\longrightarrow\tfrac12\log2.$$
$T_{3m+1}-T_{3m}=1/(2m+1)$、$T_{3m+2}-T_{3m}=1/(2m+1)-1/(4m+2)$ はどちらも0に近づく。よって途中で切った部分和も同じ極限を持ち、求める和は $\tfrac12\log2$。

(4) 有限個の数の和は順序を入れ替えても変わらない。しかし無限個の数の和は部分和の極限として定めるため、順序を入れ替えると和が変わることがある。この問題はその具体例である。