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長崎大学／2024年度／前期

10長崎大学 2024年 数学 第10問解答・解説

積分法

難易度勝負 レベル 5/10 目安 25分編集部の評価

対象情報データ科学医学科は解かない

1問題

長崎大学2024年度第10問
原点を O\mathrm{O} とする xyxy 座標平面上において、放物線 C:y=x2C:y=x^{2} と直線 l:y=xl:y=x があり、CC と ll で囲まれた領域の周および内部を図形 FF とする。

また、CC 上の点 P(t, t2) (0≦t≦1)\mathrm{P}(t,\,t^{2})\ (0\leqq t\leqq1) を通り、ll に垂直な直線を mm とし、mm と ll との交点を Q\mathrm{Q} とする。以下の問いに答えよ。

(1) 図形 FF を xx 軸の周りに 1 回転してできる回転体の体積 V1V_{1} を求めよ。

(2) 直線 mm の方程式および点 Q\mathrm{Q} の座標を、tt を用いてそれぞれ表せ。

(3) 線分 PQ\mathrm{PQ} の長さの平方 (PQ2)(\mathrm{PQ}^{2}) を tt を用いて表せ。

(4) 線分 OQ\mathrm{OQ} の長さを ss とするとき、ss および dsdt\dfrac{ds}{dt} を、tt を用いてそれぞれ表せ。

(5) 図形 FF を直線 ll の周りに 1 回転してできる回転体の体積 V2V_{2} を求めよ。また、(1) で求めた V1V_{1} との比 V2V1\dfrac{V_{2}}{V_{1}} を求めよ。

出典：長崎大学 2024年度 前期 数学 第10問

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    V1=215πV_{1}=\dfrac{2}{15}\pi
  • (2)
    m:y=−x+t2+tm:y=-x+t^{2}+t、Q(t2+t2, t2+t2)\mathrm{Q}\left(\dfrac{t^{2}+t}{2},\,\dfrac{t^{2}+t}{2}\right)
  • (3)
    PQ2=t2(1−t)22\mathrm{PQ}^{2}=\dfrac{t^{2}(1-t)^{2}}{2}
  • (4)
    s=t2+t2s=\dfrac{t^{2}+t}{\sqrt{2}}、dsdt=2t+12\dfrac{ds}{dt}=\dfrac{2t+1}{\sqrt{2}}
  • (5)
    V2=260πV_{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{60}\pi、V2V1=28\dfrac{V_{2}}{V_{1}}=\dfrac{\sqrt{2}}{8}

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

直線 ll の周りの回転体は、ll に沿った座標 s=OQs=\mathrm{OQ} を使って V2=π∫02PQ2 dsV_{2}=\pi\displaystyle\int_{0}^{\sqrt{2}}\mathrm{PQ}^{2}\,ds と表せる。これを tt で置換積分する（tt が 00 から 11 に増えると ss は 00 から 2\sqrt{2} に増える）。

解答

(1)

0≦x≦10\leqq x\leqq1 で x≧x2x\geqq x^{2} だから
V1=π∫01(x2−x4) dx=π(13−15)=215π. V_{1}=\pi\int_{0}^{1}(x^{2}-x^{4})\,dx=\pi\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}\right)=\dfrac{2}{15}\pi.

(2)

mm は傾き −1-1 で P\mathrm{P} を通るから y=−x+t2+ty=-x+t^{2}+t。y=xy=x と連立して x=t2+t2x=\dfrac{t^{2}+t}{2}、よって Q(t2+t2, t2+t2)\mathrm{Q}\left(\dfrac{t^{2}+t}{2},\,\dfrac{t^{2}+t}{2}\right)。

(3)

PQ\mathrm{PQ} は P\mathrm{P} と直線 x−y=0x-y=0 の距離だから
PQ2=(t−t2)22=t2(1−t)22. \mathrm{PQ}^{2}=\dfrac{(t-t^{2})^{2}}{2}=\dfrac{t^{2}(1-t)^{2}}{2}.

(4)

s=2⋅t2+t2=t2+t2s=\sqrt{2}\cdot\dfrac{t^{2}+t}{2}=\dfrac{t^{2}+t}{\sqrt{2}}、dsdt=2t+12\dfrac{ds}{dt}=\dfrac{2t+1}{\sqrt{2}}。

(5)

tt が 00 から 11 まで増えると ss は 00 から 2\sqrt{2} まで増加する。ll に垂直な平面で切った断面は半径 PQ\mathrm{PQ} の円だから
V2=π∫02PQ2 ds=π∫01t2(1−t)22⋅2t+12 dt=π22∫01(t2−3t4+2t5) dt. V_{2}=\pi\int_{0}^{\sqrt{2}}\mathrm{PQ}^{2}\,ds=\pi\int_{0}^{1}\dfrac{t^{2}(1-t)^{2}}{2}\cdot\dfrac{2t+1}{\sqrt{2}}\,dt=\dfrac{\pi}{2\sqrt{2}}\int_{0}^{1}(t^{2}-3t^{4}+2t^{5})\,dt.
∫01(t2−3t4+2t5) dt=13−35+13=115\displaystyle\int_{0}^{1}(t^{2}-3t^{4}+2t^{5})\,dt=\dfrac{1}{3}-\dfrac{3}{5}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{15} より
V2=π302=260π,V2V1=260⋅152=28. V_{2}=\dfrac{\pi}{30\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{60}\pi,\qquad \dfrac{V_{2}}{V_{1}}=\dfrac{\sqrt{2}}{60}\cdot\dfrac{15}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{8}.

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 回転体の体積
  • 置換積分
  • 点と直線の距離

答えと解答は編集部が AI で作成したもので、大学が公表したものではありません。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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