4愛媛大学 2026年 数学 第4問解答・解説

次の $\square$ に適する数を、解答用紙の指定のところに記入せよ。

(1) 曲線 $\dfrac{x^{2}}{6}+\dfrac{y^{2}}{3}=1$ 上の点 $P(a,b)$ における接線の傾きが 2 のとき、$a=\boxed{\text{(ア)}},\ b=\boxed{\text{(イ)}}$ である。ただし、$a>0$ とする。

(2) 時刻 $t$ における座標が $$x=\frac{1}{2+\cos t},\qquad y=\frac{\sin t}{2+\cos t}$$ で与えられる点 $P(x,y)$ の運動について、時刻 $t=\dfrac{\pi}{2}$ における点 $P$ の速度を $\vec{v}=(p,q)$ とすると、$p=\boxed{\text{(ウ)}},\ q=\boxed{\text{(エ)}}$ である。

(3) 原点 $O$ から出発して数直線上を動く点 $P$ がある。点 $P$ は、さいころをひとつ投げて、2 以下の目が出たら $+1$ だけ移動し、3 以上の目が出たら $-1$ だけ移動する。

(i) さいころを2回投げ終わったとき、点 $P$ が原点 $O$ にある確率は $\boxed{\text{(オ)}}$ である。

(ii) さいころを4回投げ終わったとき、点 $P$ が原点 $O$ 以外の点にある確率は $\boxed{\text{(カ)}}$ である。

(4) $\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{e^{2x}}{e^{2x}+1}\,dx=\boxed{\text{(キ)}}$ である。

(5) $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{9-x^{2}}}$ とするとき、$f'(1)=\boxed{\text{(ク)}}$ である。また、$f(x)$ は $x=\boxed{\text{(ケ)}}$ のとき最小値をとる。さらに、曲線 $y=f(x)$ と直線 $y=f(\sqrt{5})$ で囲まれた図形を $y$ 軸のまわりに1回転してできる回転体の体積は $\boxed{\text{(コ)}}$ である。