1長崎大学 2024年 数学 第1問解答・解説

以下はそれぞれ個別の問題である。各問いに答えよ。

(1) 3 次方程式 $x^{3}-3x^{2}-9x+a=0$ が異なる 3 つの実数解をもつような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

(2) 等式 $f(x)=-x^{2}+4x\displaystyle\int_{0}^{1}f(t)\,dt+\displaystyle\int_{0}^{2}f(t)\,dt$ を満たす関数 $f(x)$ を求めよ。

(3) 円に内接する四角形 $\mathrm{ABCD}$ があり、$\mathrm{AB}=4,\ \mathrm{BC}=3,\ \mathrm{CD}=1,\ \mathrm{DA}=4$ である。$\angle\mathrm{ABC}=\theta$ とするとき、$\cos\theta$ の値および線分 $\mathrm{AC}$ の長さを、それぞれ求めよ。また、線分 $\mathrm{AC}$ と線分 $\mathrm{BD}$ の交点を $\mathrm{P}$ とするとき、線分 $\mathrm{AP}$ の長さを求めよ。

(4) 数列 $\{a_{n}\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_{n}$ とする。数列 $\{a_{n}\}$ の初項は $\dfrac{1}{3}$ で、すべての自然数 $n$ に対して $a_{n+1}=r(1-S_{n})$ が成り立つ。ただし、$r$ は $0<r<1$ を満たす定数である。$a_{2},\,a_{3}$ を $r$ を用いてそれぞれ表せ。また、$n\geqq2$ のとき、$a_{n+1}$ を $r,\,a_{n}$ を用いて表し、数列 $\{a_{n}\}$ が等比数列になるように $r$ の値を定めよ。