2久留米大学 2024年 数学 第2問解答・解説

$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\theta$、$\angle\mathrm{AOB}=2\theta\ \left(0<\theta<\dfrac{\pi}{4}\right)$ である三角形 $\mathrm{OAB}$ がある。点 $\mathrm{A}$ から辺 $\mathrm{OB}$ に下ろした垂線と辺 $\mathrm{OB}$ との交点を $\mathrm{P}_{1}$、$\mathrm{P}_{1}$ から辺 $\mathrm{OA}$ に下ろした垂線と辺 $\mathrm{OA}$ との交点を $\mathrm{P}_{2}$、$\mathrm{P}_{2}$ から辺 $\mathrm{OB}$ に下ろした垂線と辺 $\mathrm{OB}$ との交点を $\mathrm{P}_{3}$ とする。このことを繰り返すことで $\mathrm{P}_{n}\ (n=1,\,2,\,3,\,\cdots)$ を定めていく。辺 $\mathrm{OP}_{n}$ の長さを $x_{n}$、線分 $\mathrm{P}_{n}\mathrm{P}_{n+1}$ の長さを $y_{n}$、三角形 $\mathrm{OP}_{n}\mathrm{P}_{n+1}$ の面積を $S_{n}$ とする。

(1) $x_{n}$ と $x_{n+1}$ との関係式は $x_{n+1}=\left(\boxed{\text{ハ}}\right)x_{n}$ であり、$x_{n}$ と $y_{n}$ の関係式は $y_{n}=\left(\boxed{\text{ヒ}}\right)x_{n}$ であるから、$x_{n}=\theta\cdot\left(\boxed{\text{フ}}\right)^{n}$ であり、$y_{n}=\theta\cdot\boxed{\text{ヒ}}\cdot\left(\boxed{\text{フ}}\right)^{n}$ となる。

$\boxed{\text{ハ}}$、$\boxed{\text{ヒ}}$、$\boxed{\text{フ}}$ に当てはまるものを下の ⓪～⑤ の中から 1 つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよいものとする。

⓪ $\sin\theta$　① $\cos\theta$　② $\tan\theta$　③ $\sin 2\theta$　④ $\cos 2\theta$　⑤ $\tan 2\theta$

(2) $T=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}y_{n}$ とするとき、$T=\dfrac{\theta\sin \boxed{\text{ヘ}}\,\theta}{\boxed{\text{ホ}}\left(1-\cos \boxed{\text{マ}}\,\theta\right)}$ であり、$\displaystyle\lim_{\theta\to +0}T=\boxed{\text{ミ}}$ である。

(3) $p$ を実数とする。$\displaystyle\lim_{\theta\to +0}\theta^{p}\sqrt{S_{n}}$ が 0 以外の値に収束するような $p$ の値は $p=\dfrac{\boxed{\text{ムメ}}}{\boxed{\text{モ}}}$ であり、このときの極限値は $\boxed{\text{ヤ}}$ である。