9長崎大学 2024年 数学 第9問解答・解説

共役の和・積の性質と実係数多項式への適用を示し，4解の相異性を確認する。解と係数の関係によってαの実部と絶対値を定め，因数分解から係数を求める。

(1)
$z_1=x+yi,\ z_2=u+vi\ (x,y,u,v\text{ は実数})$ とおく。このとき
$$\overline{z_1}+\overline{z_2}=(x-yi)+(u-vi)=(x+u)-(y+v)i=\overline{z_1+z_2}.$$
また，$z_1z_2=(xu-yv)+(xv+yu)i$ より
$$\overline{z_1}\,\overline{z_2}=(x-yi)(u-vi)=(xu-yv)-(xv+yu)i=\overline{z_1z_2}.$$
したがって，いずれの等式も成り立つ。

(2)
$P(z)=z^4+pz^2+qz+27$ とおく。$P(\alpha)=0$ の両辺の共役をとる。(1)の性質と，$p,q$ が実数であることから
$$0=\overline{P(\alpha)}=\overline{\alpha}^{\,4}+p\overline{\alpha}^{\,2}+q\overline{\alpha}+27=P(\overline{\alpha}).$$
よって，$\overline{\alpha}$ はこの4次方程式の解である。

(3)
$\alpha=a+bi\ (a>0,\ b>0)$ とおく。(2)と同じ議論を解 $\alpha^2$ にも用いると，$\overline{\alpha^2}=\overline{\alpha}^{\,2}$ も解である。
$\alpha$ と $\alpha^2$ の虚部はそれぞれ $b>0,\ 2ab>0$，その共役の虚部はそれぞれ $-b<0,\ -2ab<0$ である。したがって，虚部が正の2解と負の2解との間で一致は起こらない。
もし $\alpha^2=\alpha$ なら，$\alpha(\alpha-1)=0$ より $\alpha=0$ または $\alpha=1$ となるが，いずれも虚部が正という条件に反する。ゆえに $\alpha^2\ne\alpha$ であり，共役をとれば $\overline{\alpha}^{\,2}\ne\overline{\alpha}$ も従う。
以上より，$\alpha,\alpha^2,\overline{\alpha},\overline{\alpha}^{\,2}$ は相異なる4解である。$P(z)$ は最高次の係数が1の4次式なので，因数定理から
$$P(z)=(z-\alpha)(z-\alpha^2)(z-\overline{\alpha})(z-\overline{\alpha}^{\,2}).$$
$z^3$ の係数が0であることから，解と係数の関係により
$$\alpha+\alpha^2+\overline{\alpha}+\overline{\alpha}^{\,2}=0.$$
したがって，$\alpha+\alpha^2$ の実部は0である。一方，その虚部は
$$b+2ab=b(1+2a)>0$$
であるから，$\alpha+\alpha^2$ は純虚数である。

(4)
(3)の因数分解の定数項を比較すると
$$27=\alpha\alpha^2\overline{\alpha}\,\overline{\alpha}^{\,2}=(\alpha\overline{\alpha})^3=|\alpha|^6.$$
$|\alpha|>0$ より，$|\alpha|=\sqrt{3}$ である。(3)で実部が0となる条件と，$|\alpha|^2=3$ から
$$a+a^2-b^2=0,\qquad a^2+b^2=3.$$
第1式より $b^2=a+a^2$ なので，第2式に代入して
$$2a^2+a-3=0,\qquad (a-1)(2a+3)=0.$$
$a>0$ より $a=1$。さらに $b^2=2$ および $b>0$ より $b=\sqrt{2}$ である。したがって
$$|\alpha|=\sqrt{3},\qquad \alpha=1+\sqrt{2}i.$$

(5)
$$\alpha^2=(1+\sqrt{2}i)^2=-1+2\sqrt{2}i$$
であるから，すべての解は
$$z=1+\sqrt{2}i,\quad 1-\sqrt{2}i,\quad -1+2\sqrt{2}i,\quad -1-2\sqrt{2}i.$$
共役な解を組にして因数分解すると
$$\begin{aligned} P(z)&=((z-1)^2+2)((z+1)^2+8)\\ &=(z^2-2z+3)(z^2+2z+9)\\ &=z^4+8z^2-12z+27. \end{aligned}$$$$P(z)=((z-1{)}^2+2)((z+1{)}^2+8)$$$$=(z^2-2z+3)(z^2+2z+9)$$$$=z^4+8z^2-12z+27.$$
元の式と係数を比較して，$p=8,\ q=-12$ を得る。