4聖マリアンナ医科大学 2022年 数学 第4問解答・解説

(1)
$$S_4=1-\frac12+\frac13-\frac14 =\frac{12-6+4-3}{12}=\frac7{12}.$$

(2) 偶数番目の項は
$$S_{2k+2}-S_{2k}=\frac1{2k+1}-\frac1{2k+2}>0$$
より添字とともに増加し、奇数番目の項は
$$S_{2k+1}-S_{2k-1}=-\frac1{2k}+\frac1{2k+1}<0$$
より添字とともに減少する。また、任意の偶数項 $S_{2k}$ は任意の奇数項 $S_{2j-1}$ より小さい。実際、$k\geqq j$ ならば
$S_{2k}<S_{2k+1}\leqq S_{2j-1}$ であり、$k<j$ ならば
$S_{2k}\leqq S_{2j-2}<S_{2j-1}$ である。
従って、指定された8項の小さい方から4項は偶数添字の
$$S_{8m+2}<S_{8m+4}<S_{8m+6}<S_{8m+8}$$
であり、次に小さいのは奇数項のうち最小の $S_{8m+7}$ である。よって $a=7$。

(3) 調和数 $H_n=\sum_{k=1}^n\frac1k$ を用いると
$$S_{2n}=\sum_{k=1}^n\left(\frac1{2k-1}-\frac1{2k}\right) =H_{2n}-2\sum_{k=1}^n\frac1{2k} =H_{2n}-H_n.$$
したがって
$$S_{2n}=\sum_{j=n+1}^{2n}\frac1j =\sum_{k=1}^n\frac1{n+k},$$
所望の等式が示された。

(4) (3)より $S_{2n}=\sum_{j=n+1}^{2n}\frac1j$。関数 $1/x$ は正で減少するので、各単位区間での長方形評価から
$$\int_{n+1}^{2n+1}\frac{dx}{x} \leqq \sum_{j=n+1}^{2n}\frac1j \leqq \int_n^{2n}\frac{dx}{x}.$$
よって
$$\log\frac{2n+1}{n+1}\leqq S_{2n}\leqq\log2.$$
左端は $\log(2-\frac1{n+1})\to\log2$ であるから、はさみうちにより $S_{2n}\to\log2$。また
$$S_{2n+1}=S_{2n}+\frac1{2n+1}\to\log2.$$
偶数番目と奇数番目の部分列がともに $\log2$ に収束するので、数列全体について
$$\lim_{n\to\infty}S_n=\log2$$
である。