4愛媛大学 2022年 数学 第4問解答・解説

(1)

$f(x)=\sin^{2}\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)$とおく。半角・倍角の関係$\sin^{2}u=\dfrac{1-\cos2u}{2}$より$f(x)=\dfrac{1-\cos\left(4x+\dfrac{2\pi}{3}\right)}{2}$であるから、$f'(x)=2\sin\left(4x+\dfrac{2\pi}{3}\right)$である。よって$f'(0)=2\sin\dfrac{2\pi}{3}=2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$である。

(2)

分母は$x\to0$で0に近づくので、極限が有限の値をもつためには、分子も$x\to0$で0に収束しなければならない（さもなければ極限は発散する）。よって$\sqrt{4}-b=0$、すなわち$b=2$である（$\sqrt{4}=2>0$をとる）。
このとき
$$\dfrac{\sqrt{ax+4}-2}{x}=\dfrac{(\sqrt{ax+4}-2)(\sqrt{ax+4}+2)}{x(\sqrt{ax+4}+2)}=\dfrac{ax+4-4}{x(\sqrt{ax+4}+2)}=\dfrac{a}{\sqrt{ax+4}+2}\quad(x\ne0)$$
である。$x\to0$で右辺は$\dfrac{a}{2+2}=\dfrac{a}{4}$に収束するから、$\dfrac{a}{4}=1$より$a=4$である。以上より$a=4$、$b=2$である。

(3)

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(0,\,-2,\,0)$より$\mathrm{AB}=2$である。$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(-q-p,\,-1,\,0)$、$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=(-q-p,\,1,\,0)$であり、$\mathrm{AC}^{2}=\mathrm{BC}^{2}=(p+q)^{2}+1$が常に成り立つから、$\triangle\mathrm{ABC}$が正三角形になる条件は$\mathrm{AC}=\mathrm{AB}$のみである：
$$(p+q)^{2}+1=4\quad\text{より}\quad(p+q)^{2}=3\quad\text{より}\quad p+q=\sqrt{3}\quad(p,\,q>0\text{より}).$$
次に$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=(-p,\,-1,\,1)$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=(-q-p,\,1,\,0)$の内積が0であることから
$$\overrightarrow{\mathrm{AD}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}}=p(p+q)-1=0\quad\text{より}\quad p(p+q)=1.$$
$p+q=\sqrt{3}$を代入すると$p\sqrt{3}=1$より$p=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$である。よって$q=\sqrt{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$である。いずれも正であり、条件に適する。

(4)

一般に$|z-w|^{2}=(z-w)\overline{(z-w)}=|z|^{2}+|w|^{2}-(z\overline{w}+\overline{z}w)$であり、$z\overline{w}+\overline{z}w$は$z\overline{w}$の実部の2倍である。$|z|=2$、$|w|=5$、$z\overline{w}$の実部が3であることを代入すると
$$|z-w|^{2}=4+25-2\cdot3=23$$
であるから、$|z-w|=\sqrt{23}$である。

(5)

$k=\displaystyle\int_{0}^{\pi}f(t)\sin t\,dt$は定数であるから、$f(x)=x+k$の形をもつ。これを$k$の定義式に代入すると
$$k=\displaystyle\int_{0}^{\pi}(t+k)\sin t\,dt=\displaystyle\int_{0}^{\pi}t\sin t\,dt+k\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin t\,dt.$$
部分積分により$\displaystyle\int_{0}^{\pi}t\sin t\,dt=\left[-t\cos t+\sin t\right]_{0}^{\pi}=\pi$、また$\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin t\,dt=\left[-\cos t\right]_{0}^{\pi}=2$である。よって$k=\pi+2k$、すなわち$k=-\pi$である。したがって$f(x)=x-\pi$であり、$f(0)=-\pi$である。
（）

(6)

$x=t+e^{t}$、$y=2+\log t$$(t>0)$について、$\dfrac{dx}{dt}=1+e^{t}$、$\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{1}{t}$であるから
$$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}=\dfrac{1}{t(1+e^{t})}.$$
$t=1$のとき、接点は$(1+e,\,2)$、傾きは$\dfrac{1}{1+e}$である。よって接線は
$$y-2=\dfrac{1}{1+e}\left(x-(1+e)\right)\quad\text{より}\quad y=\dfrac{1}{1+e}x+1$$
である。（）
以上より、ク＝$\dfrac{1}{1+e}$、ケ＝$1$である。