3長崎大学 2024年 数学 第3問解答・解説

以下はそれぞれ個別の問題である。各問いに答えよ。

(1) $p,\,q$ を実数とし、互いに異なるベクトル $\vec{a},\,\vec{b},\,\vec{c}$ を、
$$\vec{a}=(1,\,p),\quad\vec{b}=(q,\,-1),\quad\vec{c}=(-1,\,1)$$
とする。$\vec{a}-\vec{b}$ と $\vec{c}$ は垂直であり、$\vec{b}-\vec{c}$ と $\vec{a}$ は平行であるとき、$p,\,q$ の値をそれぞれ求めよ。

(2) 数列 $\{a_{n}\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_{n}$ とする。数列 $\{a_{n}\}$ の初項は $\dfrac{1}{3}$ で、すべての自然数 $n$ に対して $a_{n+1}=r(1-S_{n})$ が成り立つ。ただし、$r$ は $0<r<1$ を満たす定数である。$a_{2},\,a_{3}$ を $r$ を用いてそれぞれ表せ。また、$n\geqq2$ のとき、$a_{n+1}$ を $r,\,a_{n}$ を用いて表し、数列 $\{a_{n}\}$ が等比数列になるように $r$ の値を定めよ。

(3) $n$ を整数とするとき、$n^{2}$ を 3 で割った余りは 2 にならないことを、$n=3k,\ n=3k+1,\ n=3k+2$（$k$ は整数）のそれぞれの場合について示せ。

また、$l,\,m,\,n$ を整数とするとき、$l^{2}+m^{2}=n^{2}$ ならば、$l$ または $m$ は 3 の倍数となることを、背理法を用いて証明せよ。