4長崎大学 2024年 数学 第4問解答・解説

以下はそれぞれ個別の問題である。各問いに答えよ。

(1) $t=\cos x$ とおくとき、$\cos2x$ および $\cos3x$ を $t$ の式でそれぞれ表せ。また、$0\leqq x\leqq\pi$ のとき、$\cos x+\cos2x+\cos3x>0$ となるような $x$ の値の範囲を求めよ。

(2) 微分可能な関数 $f(x)$ が、すべての実数 $x,\,y$ に対して
$$f(x+y)=f(x)+f(y)$$
を満たしている。このとき、$f(0)$ の値を求めよ。また、$\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(h)}{h}=2$ のとき、$f'(x)$ および $f(x)$ をそれぞれ求めよ。

(3) $\displaystyle\int_{-1}^{0}\dfrac{x^{2}-x^{4}}{1+e^{x}}\,dx=\int_{0}^{1}\dfrac{e^{x}(x^{2}-x^{4})}{1+e^{x}}\,dx$ が成り立つことを示し、定積分 $\displaystyle\int_{-1}^{1}\dfrac{x^{2}-x^{4}}{1+e^{x}}\,dx$ を求めよ。