2長崎大学 2024年 数学 第2問解答・解説

下図のように、1辺の長さが1の正四面体 $OABC$ がある。2点 $P$、$Q$ はそれぞれ辺 $OC$、$AB$ 上にあり、線分 $PQ$ は辺 $OC$ と辺 $AB$ に垂直である。$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{c}$ とするとき、以下の問いに答えよ。

(1) $\mathrm{OP}:\mathrm{PC}=s:(1-s)\ (0<s<1)$、
$$\mathrm{AQ}:\mathrm{QB}=t:(1-t)\quad(0<t<1)$$
とするとき、$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$、$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$、$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ を、$s$、$t$、$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$ を用いてそれぞれ表せ。

(2) $\mathrm{PQ}\perp\mathrm{OC}$、$\mathrm{PQ}\perp\mathrm{AB}$ の関係から、$s$、$t$ の値および線分 $\mathrm{PQ}$ の長さを、それぞれ求めよ。

(3) $\triangle\mathrm{OAB}$、$\triangle\mathrm{CAB}$ の重心をそれぞれ $L$、$M$ とする。このとき、$\overrightarrow{\mathrm{OL}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{OM}}$ を $\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$ を用いてそれぞれ表せ。
また、線分 $LM$ と $\triangle\mathrm{PAB}$ との交点を $N$ とする。
$$\mathrm{LN}:\mathrm{NM}=u:(1-u)\quad(0<u<1)$$
とするとき、$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$ を $u$、$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$ を用いて表せ。

(4) $N$ は $\triangle\mathrm{PAB}$ 上にあるので、
$$\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\alpha\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\beta\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\gamma\overrightarrow{\mathrm{OB}}\quad(\alpha+\beta+\gamma=1)$$
とおける。このとき、$\alpha$、$\beta$、$\gamma$ の値をそれぞれ求めよ。また、$\mathrm{LN}:\mathrm{NM}$ を求めよ。

(5) $N$ は $\triangle\mathrm{PAB}$ の重心であることを示せ。また、$\triangle\mathrm{QLN}$ の面積 $S$ を求めよ。