11長崎大学 2024年 数学 第11問解答・解説

ある町の中学校 1 年生の 50 メートル走における所要時間（単位は秒）は、母平均 $m$、母分散 1 の正規分布に従うものとする。

高校生の花子さんと太郎さんは、この母集団から無作為に何人かを抽出して、母集団の調査をそれぞれ行った。

表 1 は、花子さんが 10 人の生徒（A, B, C, $\cdots$, J）を無作為に抽出したときの各自の所要時間（測定値）を示している。以下の問いに答えよ。必要に応じて、正規分布表を用いてもよい。

表 1
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{生徒} & \text{A} & \text{B} & \text{C} & \text{D} & \text{E} & \text{F} & \text{G} & \text{H} & \text{I} & \text{J}\\ \hline \text{測定値 (秒)} & 9.0 & 9.0 & 8.0 & 8.0 & 9.0 & 9.0 & 10.0 & 9.0 & 10.0 & x\\ \hline \end{array}$$
（$x$ は正の実数）

(1) 花子さんが選んだ 10 人の生徒のうち、J を除いた 9 人の標本の平均 $m_{1}$ と分散 ${S_{1}}^{2}$ を、それぞれ求めよ。

(2) 花子さんが選んだ (1) の 9 人の測定値の標本を用いて、母平均 $m$ に対する信頼度 95% の信頼区間を、小数第 3 位を四捨五入して求めよ。

(3) 花子さんが選んだ 10 人の標本の平均 $m_{2}$ と分散 ${S_{2}}^{2}$ を、$x$ を用いてそれぞれ表せ。また、$8\leqq x\leqq10$ のとき、平均 $m_{2}$ と分散 ${S_{2}}^{2}$ の取り得る値の範囲を、それぞれ求めよ。

(4) 太郎さんは、花子さんとは別に 4 人の生徒を無作為に抽出して調べることとした。母平均 $m=8$ のとき、4 人の標本の平均が 9 秒以上となる確率を、小数第 3 位を四捨五入して求めよ。