8長崎大学 2024年 数学 第8問解答・解説

下図のように、一辺の長さが1の正方形 $OABC$ がある。辺 $OA$ 上に点 $P_{1}$ をとり、$AP_{1}=a_{1}$ とする。ただし、$0<a_{1}<1$ とする。
$$\angle AP_{1}Q_{1}=\angle BQ_{1}R_{1}=\angle CR_{1}S_{1}=\theta\quad\left(0<\theta<\dfrac{\pi}{4}\right)$$
となるように点 $Q_{1}$、$R_{1}$、$S_{1}$ を、それぞれ辺 $AB$、$BC$、$CO$ 上にとる。
さらに、
$$\angle OS_{1}P_{2}=\angle AP_{2}Q_{2}=\angle BQ_{2}R_{2}=\angle CR_{2}S_{2}=\theta$$
となるように点 $P_{2}$、$Q_{2}$、$R_{2}$、$S_{2}$ を、それぞれ辺 $OA$、$AB$、$BC$、$CO$ 上にとる。
このような操作を繰り返し、点 $P_{n}$、$Q_{n}$、$R_{n}$、$S_{n}$ を、それぞれ辺 $OA$、$AB$、$BC$、$CO$ 上にとる。$AP_{n}=a_{n}$ とするとき、以下の問いに答えよ。

(1) 線分 $AQ_{n}$、$BR_{n}$、$CS_{n}$ の長さを、$a_{n}$、$\theta$ を用いてそれぞれ表せ。

(2) $a_{n+1}$ を $a_{n}$、$\theta$ を用いて表せ。

(3) $a_{n}$ を $a_{1}$、$n$、$\theta$ を用いて表せ。

(4) $P_{1}$ と $P_{2}$ が同じ点のとき、$a_{1}$ を $\theta$ を用いて表せ。また、$P_{1}$ と $P_{2}$ が異なる点のとき、この操作を繰り返すと、$P_{n}$ は線分 $OA$ をどのような比に内分する点に限りなく近づくか説明せよ。