7長崎大学 2024年 数学 第7問解答・解説

原点を $O$ とする $xy$ 座標平面上において、放物線 $C:y=x^{2}$ と直線 $l:y=x$ があり、$C$ と $l$ で囲まれた領域の周および内部を図形 $F$ とする。
また、$C$ 上の点 $P(t,t^{2})\ (0\leqq t\leqq1)$ を通り、$l$ に垂直な直線を $m$ とし、$m$ と $l$ との交点を $Q$ とする。以下の問いに答えよ。
(1) 図形 $F$ を $x$ 軸の周りに1回転してできる回転体の体積 $V_{1}$ を求めよ。
(2) 直線 $m$ の方程式および点 $Q$ の座標を、$t$ を用いてそれぞれ表せ。
(3) 線分 $PQ$ の長さの平方 $(PQ^{2})$ を $t$ を用いて表せ。
(4) 線分 $OQ$ の長さを $s$ とするとき、$s$ および $\frac{ds}{dt}$ を、$t$ を用いてそれぞれ表せ。
(5) 図形 $F$ を直線 $l$ の周りに1回転してできる回転体の体積 $V_{2}$ を求めよ。また、(1)で求めた $V_{1}$ との比 $\frac{V_{2}}{V_{1}}$ を求めよ。