4名古屋市立大学 2026年 数学 第4問解答・解説

正弦の差から余弦を取り出して$f_n$を余弦の有限和に直し、積分により部分和と$I_n$を結ぶ。$I_n$は部分積分後に1/(n+1/2)に比例する上界で評価し、その極限から級数の和を定める。

(1) 区間 $1\leqq x\leqq \pi$ では $\sin\frac{x}{2}>0$ である。正弦の差を積和公式で変形すると、$k\geqq1$ に対して
$$\begin{aligned} f_k(x)-f_{k-1}(x) &=\frac{\sin\frac{2k+1}{2}x-\sin\frac{2k-1}{2}x}{2\sin\frac{x}{2}}\\ &=\frac{2\cos kx\sin\frac{x}{2}}{2\sin\frac{x}{2}}=\cos kx. \end{aligned}$$$$f_k(x)-f_{k-1}(x)=\frac{\sin \frac{2k+1}{2}x-\sin \frac{2k-1}{2}x}{2\sin \frac{x}{2}}$$$$=\frac{2\cos kx\sin \frac{x}{2}}{2\sin \frac{x}{2}}=\cos kx.$$

(2) 定義から $f_0(x)=\frac12$ であり、(1)を $k=1,2,\ldots,n$ について足すと
$$f_n(x)=f_0(x)+\sum_{k=1}^{n}\{f_k(x)-f_{k-1}(x)\} =\frac12+\sum_{k=1}^{n}\cos kx.$$
したがって、有限和の積分と $\int\cos kx\,dx=\frac{\sin kx}{k}$ を用いて
$$\begin{aligned} I_n&=\int_1^\pi f_n(x)\,dx\\ &=\frac{\pi-1}{2}+\sum_{k=1}^{n}\left[\frac{\sin kx}{k}\right]_1^\pi\\ &=\frac{\pi-1}{2}-\sum_{k=1}^{n}\frac{\sin k}{k}, \end{aligned}$$$$I_n={\int }_1^{\pi }{f}_n(x)dx$$$$=\frac{\pi -1}{2}+\sum _{k=1}^n{\left[\frac{\sin kx}{k}\right]}_1^{\pi }$$$$=\frac{\pi -1}{2}-\sum _{k=1}^n\frac{\sin k}{k},$$
となる。よって
$$\sum_{k=1}^{n}\frac{\sin k}{k}=\frac{\pi-1}{2}-I_n.$$

(3) $N=n+\frac12$、$g(x)=\frac{1}{2\sin(x/2)}$ とおくと、
$$I_n=\int_1^\pi g(x)\sin(Nx)\,dx$$
である。$1\leqq x\leqq\pi$ の範囲では $\sin(x/2)>0$、$\cos(x/2)\geqq0$ だから、
$$g'(x)=-\frac{\cos(x/2)}{4\sin^2(x/2)}\leqq0.$$
ここで部分積分を行うと
$$I_n=-\left[\frac{g(x)\cos(Nx)}{N}\right]_1^\pi +\frac1N\int_1^\pi g'(x)\cos(Nx)\,dx.$$
したがって $|\cos(Nx)|\leqq1$ と $g'(x)\leqq0$ より
$$\begin{aligned} |I_n|&\leqq\frac{g(1)+g(\pi)}{N} +\frac1N\int_1^\pi\{-g'(x)\}\,dx\\ &=\frac{g(1)+g(\pi)+g(1)-g(\pi)}{N} =\frac{2g(1)}{N} =\frac{1}{(n+\frac12)\sin\frac12}. \end{aligned}$$$$|I_n|\leqq \frac{g(1)+g(\pi )}{N}+\frac{1}{N}{\int }_1^{\pi }\{-g^{\prime }(x)\}dx$$$$=\frac{g(1)+g(\pi )+g(1)-g(\pi )}{N}=\frac{2g(1)}{N}=\frac{1}{(n+\frac{1}{2})\sin \frac{1}{2}}.$$
右辺は $n\to\infty$ で $0$ に収束するので、はさみうちにより
$$\lim_{n\to\infty}I_n=0.$$

(4) $S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{\sin k}{k}$ とおく。(2)、(3)から
$$S_n=\frac{\pi-1}{2}-I_n\longrightarrow\frac{\pi-1}{2} \quad(n\to\infty).$$
これは部分和列の極限であるから、無限級数は収束し、その和は
$\displaystyle\frac{\pi-1}{2}$ である。