1東京大学 2026年 数学 第1問解答・解説

(1)

$f(\theta)=\sin\theta-\theta+\dfrac{\theta^{3}}{6}$とおく。$|u|\leqq\dfrac{1}{2}$では$|\sin u|\leqq|u|$だから
$$1-\cos\theta=2\sin^{2}\left(\dfrac{\theta}{2}\right)\leqq\dfrac{\theta^{2}}{2}.$$
したがって$f'(\theta)=\cos\theta-1+\dfrac{\theta^{2}}{2}\geqq0$であり、等号は$\theta=0$のときのみ成り立つ。よって$f$は$-1\leqq\theta\leqq1$の範囲で増加し、端点の値から
$$M=f(1)=\sin1-\dfrac{5}{6},\qquad m=f(-1)=\dfrac{5}{6}-\sin 1=-M.$$

(2)

加法定理と合成関数の微分から
$$\sin(\cos x-x)=\cos x\sin(\cos x)+\dfrac{d}{dx}\sin(\cos x).$$
導関数の項は、$0$から$2\pi$まで積分すると0である。$f(t)=\sin t-t+\dfrac{t^{3}}{6}$を使うと
$$I=\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\left(\cos^{2}x-\dfrac{\cos^{4}x}{6}\right)dx+\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\cos x\,f(\cos x)\,dx =\dfrac{7}{8}\pi+R,$$
ここで$\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}x\,dx=\pi$、$\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\cos^{4}x\,dx=\dfrac{3\pi}{4}$である。$f$は奇関数で増加し、$f(0)=0$、$|f(t)|\leqq M$（$|t|\leqq1$）なので
$$0\leqq\cos x\,f(\cos x)\leqq M|\cos x|.$$
したがって$0\leqq R\leqq M\displaystyle\int_{0}^{2\pi}|\cos x|\,dx=4M$となり、所要の不等式を得る。