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九州大学／2025年度／前期

2九州大学 2025年 数学 第2問解答・解説

三角関数微分法積分法

1問題

九州大学2025年度第2問

【問題】以下の問いに答えよ。

(1) y=tan⁡xy=\tan x とするとき、dydx\dfrac{dy}{dx} を yy の整式で表せ。

(2) 次の定積分を求めよ。
∫0π4tan⁡4x−tan⁡2x−2tan⁡2x−4 dx \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan^{4}x-\tan^{2}x-2}{\tan^{2}x-4}\,dx

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    dy/dx=y2+1dy/dx = y^2 + 1
  • (2)
    1−(1/2)log31 - (1/2)log 3

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

(1) y=tan⁡x=sin⁡x/cos⁡xy=\tan x=\sin x/\cos x より
dydx=cos⁡2x+sin⁡2xcos⁡2x=1+tan⁡2x=1+y2.\frac{dy}{dx}=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=1+\tan^2x=1+y^2.
(2) t=tan⁡xt=\tan x とおくと dt=(1+t2)dxdt=(1+t^2)dx、積分範囲は 0≦t≦10\leqq t\leqq1。この範囲で分母 t2−4t^2-4 は0でない。
I=∫01(t2−2)(t2+1)(t2−4)(1+t2)dt=∫01(1+2t2−4)dt.I=\int_0^1\frac{(t^2-2)(t^2+1)}{(t^2-4)(1+t^2)}dt=\int_0^1\left(1+\frac2{t^2-4}\right)dt.
2/(t2−4)=12{1/(t−2)−1/(t+2)}2/(t^2-4)=\frac12\{1/(t-2)-1/(t+2)\} なので
I=[t+12log⁡∣t−2t+2∣]01=1−12log⁡3.I=\left[t+\frac12\log\left|\frac{t-2}{t+2}\right|\right]_0^1=1-\frac12\log3.

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 商の微分
  • 置換積分
  • 部分分数

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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