5東北大学 2022年 数学 第5問解答・解説

座標空間内において、ベクトル

$$\overrightarrow {a} = (1, 2, 1), \overrightarrow {b} = (1, 1, - 1), \overrightarrow {c} = (0, 0, 1)$$

が定める2直線

$$\ell : s \vec {a}, \quad \ell^ {\prime}: t \vec {b} + \vec {c} \quad (s, t \text {は実数})$$

を考える。点 $A_{1}$ を原点 $(0,0,0)$ とし、点 $A_{1}$ から直線 $\ell'$ に下ろした垂線を $A_{1}B_{1}$ とおく。次に、点 $B_{1}(t_{1}\vec{b}+\vec{c})$ から直線 $\ell$ に下ろした垂線を $B_{1}A_{2}$ とおく。同様に、点 $A_{k}(s_{k}\vec{a})$ から直線 $\ell'$ に下ろした垂線を $A_{k}B_{k}$、点 $B_{k}(t_{k}\vec{b}+\vec{c})$ から直線 $\ell$ に下ろした垂線を $B_{k}A_{k+1}$ とする手順を繰り返して、点 $A_{n}(s_{n}\vec{a}), B_{n}(t_{n}\vec{b}+\vec{c})$ （nは正の整数）を定める。

(1) $s_{n}$ を用いて $s_{n+1}$ を表せ。

(2) 極限値 $\displaystyle S = \lim_{n \to \infty} s_n, T = \lim_{n \to \infty} t_n$ を求めよ。

(3) (2) で求めた $S$, $T$ に対して、点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ をそれぞれ A(S$\overrightarrow{a}$), B(T$\overrightarrow{b}$ + $\overrightarrow{c}$) とおくと、直線 AB は 2 直線 $\ell$, $\ell'$ の両方と直交することを示せ。