1東海大学 2022年 数学 第1問解答・解説

各設問を内積の平方完成、正の整数解の数え上げ、正弦値と角の対応、等差数列の和、座標による三角形面積、整式の次数と係数比較で解く。

(1)

$$|\vec{a}+t\vec{b}|^{2}=|\vec{a}|^{2}+2t(\vec{a}\cdot\vec{b})+t^{2}|\vec{b}|^{2} =9+14t+25t^{2} =25\left(t+\dfrac{7}{25}\right)^{2}+\dfrac{176}{25}.$$
したがって、$t=-\dfrac{7}{25}$のとき最小となる。

(2)

3人に渡す冊数を$(x,\,y,\,z)$とすると、$x+y+z=7$、$x\geqq1$、$y\geqq1$、$z\geqq1$である。$x'=x-1$、$y'=y-1$、$z'=z-1$とおけば、$x'\geqq0$、$y'\geqq0$、$z'\geqq0$かつ$x'+y'+z'=4$となる。その非負整数解の個数は
$${}_{6}\mathrm{C}_{2}=15$$
よって、$15$通りである。

(3)

$y=\sin x$とおくと、$-1\leqq y\leqq1$で$y^{2}+y=k$となる。関数$y^{2}+y=\left(y+\dfrac{1}{2}\right)^{2}-\dfrac{1}{4}$は$-1\leqq y\leqq1$で最小値$-\dfrac{1}{4}$をとり、$y=-1$では$0$、$y=1$では$2$である。
$$-\dfrac{1}{4}<k<0$$
のとき、方程式$y^{2}+y=k$の2解はともに$-1<y<0$にある。それぞれの$y$の値は$0\leqq x<2\pi$で正弦方程式に2解ずつ対応するので、相異なる解は合計4個となる。端点$k=-\dfrac{1}{4}$では1つの$y$の値から2解、$k=0$では$y=-1,\ 0$から合計3解であり、それ以外の範囲では4個にならない。よって、$-\dfrac{1}{4}<k<0$である。

(4)

連続する$k$個の整数の和より
$$\dfrac{k(2n+k-1)}{2}=50,\qquad n=\dfrac{\dfrac{100}{k}-k+1}{2}.$$
$n$が正の整数となるには、$k$は$100$の2以上の約数である必要がある。$k\in\{2,\,4,\,5,\,10,\,20,\,25,\,50,\,100\}$を順に代入すると、正の整数$n$となるのは$k=4$で$n=11$、$k=5$で$n=8$の場合だけである。条件「エ<カ」に合わせると
$$(n,\,k)=(8,\,5),\ (11,\,4)$$
である。よって、$\text{エ}=8$、$\text{オ}=5$、$\text{カ}=11$、$\text{キ}=4$である。

(5)

$\mathrm{P}(u,\,u^{2})$とおく。直線$\mathrm{AB}$は$y=x-4$で、$\mathrm{AB}=4\sqrt{2}$である。点$\mathrm{P}$と直線$\mathrm{AB}$の距離は
$$\dfrac{|u-u^{2}-4|}{\sqrt{2}}=\dfrac{u^{2}-u+4}{\sqrt{2}}$$
であり、$u^{2}-u+4=\left(u-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\dfrac{15}{4}>0$である。したがって、$\triangle\mathrm{PAB}$の面積は
$$\dfrac{1}{2}\cdot4\sqrt{2}\cdot\dfrac{u^{2}-u+4}{\sqrt{2}} =2\left\{\left(u-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\dfrac{15}{4}\right\}$$
となる。よって、$u=\dfrac{1}{2}$のとき最小値$\dfrac{15}{2}$をとる。

(6)

$f(x)$の次数を$d$とする。$d\geqq3$なら、$f'(x)$と$f'(x)-\dfrac{3}{2}x$はともに次数$d-1$であり、その積の次数は$2d-2>d$となる。一方、右辺$f(x)+\dfrac{9}{2}x+4$の次数は$d$であるから、等式は成立しない。よって$f(x)=Ax^{2}+Bx+C$とおける。条件$f(0)=5$から$C=5$であり、係数を比較すると
$$4A^{2}-3A=A,\qquad \left(4A-\dfrac{3}{2}\right)B=B+\dfrac{9}{2},\qquad B^{2}=C+4=9.$$
第1式より$A=0$または$A=1$である。$A=0$なら第2式から$B=-\dfrac{9}{5}$となり、$B^{2}=9$に反する。$A=1$なら第2式から$B=3$で、第3式にも合う。よって
$$f(x)=x^{2}+3x+5$$
である。代入すると、左辺も右辺も$x^{2}+\dfrac{15}{2}x+9$となり、条件を満たす。