秋田大学 2023年数学第8問解答・解説

1問題

秋田大学2023年度第8問

原点を

O

とする座標空間において、点

P_{n}

,

Q_{n}

,

R_{n} (n = 1, 2, 3, \cdots)

は以下を満たすとする。

\overrightarrow {\mathrm{OP} _ {1}} = (1, 0, 2), \overrightarrow {\mathrm{OQ} _ {1}} = (- 2, 1, 1), \overrightarrow {\mathrm{OR} _ {1}} = (- 2, - 5, 1),

\overrightarrow {\mathrm{OP} _ {n + 1}} = \overrightarrow {\mathrm{OP} _ {n}} - 3 \overrightarrow {\mathrm{OR} _ {n}}, \overrightarrow {\mathrm{OQ} _ {n + 1}} = \overrightarrow {\mathrm{OP} _ {n}} - \overrightarrow {\mathrm{OR} _ {n}}, \overrightarrow {\mathrm{OR} _ {n + 1}} = \overrightarrow {\mathrm{OQ} _ {n}} - \overrightarrow {\mathrm{OR} _ {n}}

次の問いに答えなさい。

(i) ベクトル

\overrightarrow{OP_{4}} + \overrightarrow{OQ_{4}} + \overrightarrow{OR_{4}}

の大きさを求めなさい。

(ii) ベクトル

\displaystyle \sum_{k=1}^{30}(\overrightarrow{\mathrm{OP}_{k}} + \overrightarrow{\mathrm{OQ}_{k}} + \overrightarrow{\mathrm{OR}_{k}})

を成分で表しなさい。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

解答を見る途中式つきの解答

(i)

2\sqrt{41}

; (ii)

(-8184,-9207,-1023)

.

\vec u_n=\overrightarrow{OP_n}+\overrightarrow{OQ_n}+\overrightarrow{OR_n}

とおく。与えられた漸化式を2段進めると

p_{n+2}=p_n-3q_n,\quad q_{n+2}=p_n-q_n-2r_n,\quad r_{n+2}=p_n-q_n

。これをもう1段進めると

p,q,r

の各列、したがって

u_n

も3項ごとに

-2

倍になる。

初期値から

u_1=(-3,-4,4),\quad u_2=(10,26,0),\quad u_3=(17,5,-1)

。よって

u_4=-2u_1=(6,8,-8)

で、大きさは

2\sqrt{41}

。30項は10組に分かれ、各組の和

u_1+u_2+u_3=(24,27,3)

は−2倍ずつ。

1-2+\cdots+(-2)^9=-341

より総和は

-341(24,27,3)=(-8184,-9207,-1023)

。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。