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滋賀医科大学／2026年度／前期

1滋賀医科大学 2026年 数学 第1問解答・解説

ベクトル図形と計量

1問題

滋賀医科大学2026年度第1問
△ABC\triangle\mathrm{ABC} において、AB<AC\mathrm{AB}<\mathrm{AC}、BC=3\mathrm{BC}=3、△ABC\triangle\mathrm{ABC} の面積が 222\sqrt{2} であるとする。また、辺 BC\mathrm{BC} の中点 M\mathrm{M} について、AM=172\mathrm{AM}=\dfrac{\sqrt{17}}{2} であるとする。

(1) AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} と AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} の内積を求めよ。

(2) 辺 AB\mathrm{AB}、AC\mathrm{AC} の長さをそれぞれ求めよ。

(3) △ABC\triangle\mathrm{ABC} の垂心を H\mathrm{H} とするとき、AH→\overrightarrow{\mathrm{AH}} を AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}}、AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} を用いて表せ。ただし、三角形の垂心とは、3 つの頂点から向かい合う辺またはその延長に下ろした垂線が交わる点のことである。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    AB→⋅AC→=2\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}=2
  • (2)
    AB=2\mathrm{AB}=2、AC=3\mathrm{AC}=3
  • (3)
    AH→=716AB→+18AC→\overrightarrow{\mathrm{AH}}=\dfrac{7}{16}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\dfrac{1}{8}\overrightarrow{\mathrm{AC}}

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

b⃗=AB→\vec{b}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}、c⃗=AC→\vec{c}=\overrightarrow{\mathrm{AC}} とおき、AM→=b⃗+c⃗2\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\dfrac{\vec{b}+\vec{c}}{2}、BC→=c⃗−b⃗\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\vec{c}-\vec{b} の大きさから内積と ∣b⃗∣2+∣c⃗∣2|\vec{b}|^{2}+|\vec{c}|^{2} を求める。垂心は 2 つの垂直条件を内積で表して求める。

解答

b⃗=AB→\vec{b}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}、c⃗=AC→\vec{c}=\overrightarrow{\mathrm{AC}} とおく。

(1)

AM→=b⃗+c⃗2\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\dfrac{\vec{b}+\vec{c}}{2}、AM=172\mathrm{AM}=\dfrac{\sqrt{17}}{2} より ∣b⃗+c⃗∣2=17|\vec{b}+\vec{c}|^{2}=17。また BC=3\mathrm{BC}=3 より ∣c⃗−b⃗∣2=9|\vec{c}-\vec{b}|^{2}=9。2 式の差をとると
4b⃗⋅c⃗=8よりb⃗⋅c⃗=2. 4\vec{b}\cdot\vec{c}=8\quad\text{より}\quad \vec{b}\cdot\vec{c}=2.

(2)

2 式の和をとると 2(∣b⃗∣2+∣c⃗∣2)=262(|\vec{b}|^{2}+|\vec{c}|^{2})=26 より ∣b⃗∣2+∣c⃗∣2=13|\vec{b}|^{2}+|\vec{c}|^{2}=13。

面積が 222\sqrt{2} だから
12∣b⃗∣2∣c⃗∣2−(b⃗⋅c⃗)2=22より∣b⃗∣2∣c⃗∣2=36. \dfrac{1}{2}\sqrt{|\vec{b}|^{2}|\vec{c}|^{2}-(\vec{b}\cdot\vec{c})^{2}}=2\sqrt{2}\quad\text{より}\quad |\vec{b}|^{2}|\vec{c}|^{2}=36.
∣b⃗∣2|\vec{b}|^{2}、∣c⃗∣2|\vec{c}|^{2} は 2 次方程式 X2−13X+36=0X^{2}-13X+36=0 の 2 つの解で、X=4, 9X=4,\,9 である。AB<AC\mathrm{AB}<\mathrm{AC} だから AB=2\mathrm{AB}=2、AC=3\mathrm{AC}=3。

(3)

AH→=sb⃗+tc⃗\overrightarrow{\mathrm{AH}}=s\vec{b}+t\vec{c} とおく。BH⊥AC\mathrm{BH}\perp\mathrm{AC} より (AH→−b⃗)⋅c⃗=0(\overrightarrow{\mathrm{AH}}-\vec{b})\cdot\vec{c}=0、CH⊥AB\mathrm{CH}\perp\mathrm{AB} より (AH→−c⃗)⋅b⃗=0(\overrightarrow{\mathrm{AH}}-\vec{c})\cdot\vec{b}=0 である。∣b⃗∣2=4|\vec{b}|^{2}=4、∣c⃗∣2=9|\vec{c}|^{2}=9、b⃗⋅c⃗=2\vec{b}\cdot\vec{c}=2 を使うと
2s+9t−2=0,4s+2t−2=0. 2s+9t-2=0,\qquad 4s+2t-2=0.
これを解くと s=716s=\dfrac{7}{16}、t=18t=\dfrac{1}{8} である。よって
AH→=716AB→+18AC→. \overrightarrow{\mathrm{AH}}=\dfrac{7}{16}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\dfrac{1}{8}\overrightarrow{\mathrm{AC}}.

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • ベクトルの内積
  • 内積による三角形の面積
  • 垂直条件と内積
  • 三角形の垂心

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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