3九州大学 2023年 数学 第3問解答・解説

点 $O$ を原点とする座標平面上の $\vec{0}$ でない2つのベクトル $\vec{m}=(a,c),\ \vec{n}=(b,d)$ に対して、$D=ad-bc$ とおく。座標平面上のベクトル $\vec{q}$ に対して、次の条件を考える。
条件I $r\vec{m}+s\vec{n}=\vec{q}$ を満たす実数 $r,s$ が存在する。
条件II $r\vec{m}+s\vec{n}=\vec{q}$ を満たす整数 $r,s$ が存在する。
以下の問いに答えよ。
(1) 条件Iがすべての $\vec{q}$ に対して成り立つとする。$D\neq0$ であることを示せ。以下、$D\neq0$ であるとする。
(2) 座標平面上のベクトル $\vec{v},\vec{w}$ で$$\vec{m}\cdot\vec{v}=\vec{n}\cdot\vec{w}=1,\quad \vec{m}\cdot\vec{w}=\vec{n}\cdot\vec{v}=0$$を満たすものを求めよ。
(3) さらに $a,b,c,d$ が整数であるとし、$x$ 成分と $y$ 成分がともに整数であるすべてのベクトル $\vec{q}$ に対して条件IIが成り立つとする。$D$ のとりうる値をすべて求めよ。