2愛媛大学 2023年 数学 第2問解答・解説

以下の問いに答えよ。

(1) $x,\,y$ を正の実数とする。円柱の底面の周の長さが $x$、高さが $y$ であり、$2x+y=6\pi$ を満たすとする。このとき、円柱の体積 $V$ を $x$ を用いて表せ。また、$V$ の最大値を求めよ。

(2) 数列 $\{a_{n}\}$ が $a_{1}=2,\ a_{n+1}=a_{n}^{2}+2\ (n=1,\,2,\,3,\,\cdots)$ を満たすとする。$m$ を自然数とするとき、$a_{2m}$ は 6 の倍数であることを示せ。

(3) 正の実数 $a$ に関する次の命題の真偽を答えよ。また、真であるときは証明を与え、偽であるときは反例をあげよ。ただし、$\sqrt{2}$ は無理数であることを用いてよい。

(i) $a$ が自然数ならば $\sqrt{a}$ は無理数である。

(ii) $a$ が自然数ならば $\sqrt{a}+\sqrt{2}$ は無理数である。