1琉球大学 2025年 数学 第1問解答・解説

(1) $f_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}$ なので $f_2'(x)=1+x$。

(2) $u(x)=e^x-1-x$ とおく。$u(0)=0$、$u'(x)=e^x-1\geqq0\ (x\geqq0)$ だから $u(x)\geqq0$。従って $e^x\geqq f_1(x)$。

定義から $f_{n+1}'=f_n$。実際、
$$f_{n+1}'(x)=\sum_{k=1}^{n+1}\frac{x^{k-1}}{(k-1)!} =\sum_{j=0}^{n}\frac{x^j}{j!}=f_n(x).$$

(3) $D_n(x)=e^x-f_n(x)$ とおく。(2)より $D_1\geqq0$。さらに $D_{n+1}'=e^x-f_n=D_n$、$D_{n+1}(0)=0$ だから
$$D_{n+1}(x)=\int_0^xD_n(t)\,dt\geqq0\quad(x\geqq0)$$
が帰納的に成り立つ。

(4) まず $e<3$ を確かめる。$e^x$ の二階導関数は正なので、そのグラフは下に凸で、$0<x<1$ では両端を結ぶ線分より下にある。したがって、$0\leqq x\leqq1$ では$e^x\leqq1+(e-1)x$。積分すると
$$e-1=\int_0^1e^x\,dx <\int_0^1\{1+(e-1)x\}\,dx=\frac{e+1}{2},$$
従って $e<3$。よって $e^x\leqq1+(e-1)x\leqq1+2x$ であり、$G_1(x)=f_1(x)+x-e^x\geqq0$。

$G_n(x)=f_n(x)+\frac{x^n}{n!}-e^x$ とおくと $G_{n+1}'=G_n$、$G_{n+1}(0)=0$。従って $G_{n+1}(x)=\int_0^xG_n(t)\,dt$。基底 $G_1\geqq0$ と帰納法から全ての $n\geqq1$ で $G_n\geqq0$ が $0\leqq x\leqq1$ の範囲で成り立つ。

指数関数の単調性、微分と二階微分による凸性、定積分、数学的帰納法を使う。

答

(1) $f_2'(x)=1+x$。

(2) $e^x\geqq f_1(x)\quad(x\geqq0)$。

(3) $e^x\geqq f_n(x)\quad(x\geqq0,\ n\geqq1)$。

(4) $e^x\leqq f_n(x)+\frac{x^n}{n!}\quad(0\leqq x\leqq1,\ n\geqq1)$。