3北海道大学 2024年 数学 第3問解答・解説

次の問に答えよ。

(1) $\alpha$ を実数とする。次のように定められた数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ。

$$a _ {1} = \alpha , \quad a _ {n + 1} = \frac {1}{2} a _ {n} + 1 \quad (n = 1, 2, 3, \cdots \cdots)$$

(2) 関数 $f_{1}(x)$ , $f_{2}(x)$ , $f_{3}(x)$ , $\cdots$ を次の関係式で定める。

$$f _ {1} (x) = 3 x$$

$$f _ {n + 1} (x) = (n + 2) x ^ {n + 1} + \left(\int_ {0} ^ {1} f _ {n} (t) d t\right) x \quad (n = 1, 2, 3, \cdots \cdots)$$

関数 $f_{n}(x)$ を $x$ と $n$ の式で表せ。