2旭川医科大学 2022年 数学 第2問解答・解説

$0 \leqq x \leqq 1$ の範囲で連続な関数 $f(x)$ について、数列 $\{g_n\}$ を

$$g _ {n} = \sum_ {k = 0} ^ {n - 1} \int_ {\frac {k}{n}} ^ {\frac {k}{n} + \frac {1}{2 n}} f (x) d x, \quad n = 1, 2, 3, \cdots$$

と定める。次の各問いに答えよ。ただし、$a$、$b$、$c$、$p$、$q$、$\alpha$、$\beta$ は0でない定数とし、eは自然対数の底である。

問 1 $f(x)=ax^{2}+bx+c$ のとき、$g_{n}$ を求めよ。

問 2 $f(x)=e^{\alpha x}$ のとき、$g_{n}$ を求めよ、
問 3 $\displaystyle I = \int_{0}^{1} f(x)\,dx$ とおく。このとき、$f(x) = pe^{\alpha x} + qe^{\beta x} + ax^{2} + bx + c$ について、$\displaystyle \lim_{n \to \infty} g_{n}$ を $I$ を用いて表せ。