千葉大学 2025年数学第4問（教育・理・工・薬など）解答・解説

1問題

千葉大学2025年度第4問

数列

\{a_{n}\}

を、

a_{1}=10,\qquad a_{n+1}=\dfrac{2}{3}a_{n}+\dfrac{9}{a_{n}^{2}}\quad(n=1,\,2,\,3,\,\cdots)

によって定める。このとき、以下の問いに答えよ。

(1) すべての自然数

n

に対して

a_{n}>3

が成り立つことを示せ。

(2) すべての自然数

n

に対して

a_{n+1}<a_{n}

が成り立つことを示せ。

(3) 2 以上のすべての自然数

n

に対して

a_{n}-3<7\cdot\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}

が成り立つことを示せ。

出典：千葉大学 2025年度数学第4問

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
数学的帰納法で示せる（証明は解答を参照）。
(2)
$a_{n+1}-a_{n}=\dfrac{27-a_{n}^{3}}{3a_{n}^{2}}<0$ から示せる（証明は解答を参照）。
(3)
$a_{n+1}-3<\dfrac{2}{3}(a_{n}-3)$ から示せる（証明は解答を参照）。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

a_{n+1}-3

を計算すると

\dfrac{(a_{n}-3)^{2}(2a_{n}+3)}{3a_{n}^{2}}

と因数分解できる。これで (1) が帰納法で示せ、(3) は

a_{n+1}-3

と

a_{n}-3

の比を

\dfrac{2}{3}

で抑えればよい。

解答

a>0

に対して

\dfrac{2}{3}a+\dfrac{9}{a^{2}}-3=\dfrac{2a^{3}-9a^{2}+27}{3a^{2}}=\dfrac{(a-3)^{2}(2a+3)}{3a^{2}}\qquad\cdots\text{①}

である。

(1)

a_{1}=10>3

。

a_{k}>3

と仮定すると、① で

a=a_{k}

として

a_{k}\neq3

、

2a_{k}+3>0

だから

a_{k+1}-3>0

。数学的帰納法により、すべての自然数

n

で

a_{n}>3

である。

(2)

a_{n+1}-a_{n}=-\dfrac{1}{3}a_{n}+\dfrac{9}{a_{n}^{2}}=\dfrac{27-a_{n}^{3}}{3a_{n}^{2}}

で、(1) より

a_{n}^{3}>27

だから

a_{n+1}<a_{n}

。

(3)

① より

a_{n+1}-3=(a_{n}-3)\cdot\dfrac{(a_{n}-3)(2a_{n}+3)}{3a_{n}^{2}}.

(a_{n}-3)(2a_{n}+3)=2a_{n}^{2}-3a_{n}-9<2a_{n}^{2}

だから

\dfrac{(a_{n}-3)(2a_{n}+3)}{3a_{n}^{2}}<\dfrac{2}{3}

で、

a_{n}-3>0

より

a_{n+1}-3<\dfrac{2}{3}(a_{n}-3).

これをくり返し使うと、

n\geqq2

のとき

a_{n}-3<\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}(a_{1}-3)=7\cdot\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}.

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

数学的帰納法
漸化式と不等式
差をとって比較する

答えと解答は編集部が AI で作成したもので、大学が公表したものではありません。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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