3宮崎大学 2026年 数学 第3問解答・解説

(1) $n=1$ のとき
$$1^3=\left(\frac{1\cdot2}{2}\right)^2$$
で成立する。$n$ で成立すると仮定すると
$$\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n+1}k^3 &=\left(\frac{n(n+1)}2\right)^2+(n+1)^3\\ &=\frac{(n+1)^2}{4}\{n^2+4(n+1)\}\\ &=\left(\frac{(n+1)(n+2)}2\right)^2. \end{aligned}$$$$\sum _{k=1}^{n+1}{k}^3={\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)}^2+(n+1{)}^3$$$$=\frac{(n+1{)}^2}{4}\{n^2+4(n+1)\}$$$$={\left(\frac{(n+1)(n+2)}{2}\right)}^2.$$
したがって $n+1$ でも成立し，数学的帰納法で全ての自然数 $n$ について成り立つ。

(2) $c_n=b_n+n^3$ とおくと，漸化式から
$$c_{n+1}=b_{n+1}+(n+1)^3 =2b_n+2n^3=2c_n,\qquad c_1=2.$$
よって $c_n=2^n$，従って
$$b_n=2^n-n^3.$$
この式を元の漸化式に代入しても
$$2(2^n-n^3)+2n^3-(n+1)^3=2^{n+1}-(n+1)^3$$
となり，初項 $b_1=1$ とともに条件を満たす。

(3) $a_{n+1}-a_n=b_n$ を $k=1,\ldots,n-1$ について加えると
$$a_n=1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k =1+\sum_{k=1}^{n-1}(2^k-k^3).$$
等比数列の和および (1) に $n-1$ を代入した式から
$$\sum_{k=1}^{n-1}2^k=2^n-2,\qquad \sum_{k=1}^{n-1}k^3=\left(\frac{n(n-1)}2\right)^2.$$
したがって
$$a_n=2^n-1-\left(\frac{n(n-1)}2\right)^2 =2^n-1-\frac{n^2(n-1)^2}{4}.$$
$n=1$ でも右辺は $1=a_1$ となる。