1北海道大学 2026年 数学 第1問解答・解説

漸化式から $a_{n}+1\neq 0$ で、$a_{n+1}=\dfrac{2}{a_{n}+1}$ と書ける。$b_{n}$ の漸化式は 1 次の形になるので、$b_{n+1}-\alpha=-\dfrac{1}{2}(b_{n}-\alpha)$ と変形して等比数列として解く。

漸化式 $a_{n+1}(a_{n}+1)=2$ より $a_{n}+1\neq 0$ だから、$a_{n+1}=\dfrac{2}{a_{n}+1}$ である。

(1)

$a_{1}=-8\neq -2$ である。ある $k$ で $a_{k}\neq -2$ と仮定する。もし $a_{k+1}=-2$ ならば、漸化式から $-2(a_{k}+1)=2$ となり $a_{k}=-2$ で、仮定に反する。よって $a_{k+1}\neq -2$。

数学的帰納法により、すべての自然数 $n$ について $a_{n}\neq -2$ である。

(2)

$$a_{n+1}+2=\dfrac{2}{a_{n}+1}+2=\dfrac{2(a_{n}+2)}{a_{n}+1}$$
だから
$$b_{n+1}=\dfrac{a_{n}+1}{2(a_{n}+2)}=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{a_{n}+2}\right)=\dfrac{1-b_{n}}{2}.$$

(3)

(2) より $b_{n+1}-\dfrac{1}{3}=-\dfrac{1}{2}\left(b_{n}-\dfrac{1}{3}\right)$ である。$b_{1}=\dfrac{1}{-8+2}=-\dfrac{1}{6}$ より $b_{1}-\dfrac{1}{3}=-\dfrac{1}{2}$ だから
$$b_{n}=\dfrac{1}{3}+\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n}=\dfrac{(-2)^{n}+3}{3(-2)^{n}}.$$
$(-2)^{n}\neq -3$ より $b_{n}\neq 0$ で、$a_{n}=\dfrac{1}{b_{n}}-2$ だから
$$a_{n}=\dfrac{3(-2)^{n}}{(-2)^{n}+3}-2=\dfrac{(-2)^{n}-6}{(-2)^{n}+3}.$$
（$n=1$ のとき $\dfrac{-2-6}{-2+3}=-8$ で、$a_{1}$ と一致する。）