3香川大学 2025年 数学 第3問解答・解説

(1) $2+x^{3}-(1+x+x^{2})=1-x-x^{2}+x^{3}=(1-x)(1-x^{2})$ である。ここで $0<x<1$ より $1-x>0$、$1-x^{2}>0$ だから、$(1-x)(1-x^{2})>0$。よって $1+x+x^{2}<2+x^{3}$。

(2) $P(n)$ を $1+x+x^{2}+\cdots+x^{n}<n+x^{n+1}$ とする。$n=2$ のときは (1) より $P(2)$ が成り立つ。

次に $n\geqq 2$ とし、$P(n)$ が成り立つと仮定する。このとき
$$1+x+\cdots+x^{n+1}=(1+x+\cdots+x^{n})+x^{n+1}<n+2x^{n+1}.$$
また $0<x<1,\ n\geqq 2$ より $x^{n+1}\leqq x^{3}$ かつ $2-x>0$ である。したがって
$$1-2x^{n+1}+x^{n+2}=1-x^{n+1}(2-x)\geqq 1-x^{3}(2-x)=(1-x)(1+x+x^{2}-x^{3})>0.$$
最後の不等号は、$1-x>0$ および $1+x+x^{2}-x^{3}=1+x+x^{2}(1-x)>0$ による。よって $n+2x^{n+1}<n+1+x^{n+2}$。以上から $1+x+\cdots+x^{n+1}<n+1+x^{n+2}$、すなわち $P(n+1)$ が成り立つ。

よって数学的帰納法により、すべての $n\geqq 2$ で $P(n)$ が成り立つ。