6千葉大学 2025年 数学 第6問解答・解説

(1) 曲線 $D$ の点 $A$ における接線の傾きは $1/a$ である。円の中心を $K=(u,v)$ とおくと、$u=\pm r$ であり、半径 $KA$ は接線に垂直だから、
$$v-\log a=-a(u-a)=a(a-u),\qquad r^2=(a-u)^2+(v-\log a)^2=(a-u)^2(1+a^2).$$
$S=\sqrt{1+a^2}>1$ とすると $r=|a-u|S$ である。$u=-r$ なら $r=(a+r)S>r$ となり矛盾する。よって $u=r$ であり、仮定 $r<a$ から $r=(a-r)S$ となる。したがって
$$r=\frac{aS}{1+S}=\frac{a\sqrt{1+a^2}}{1+\sqrt{1+a^2}}.$$

(2) $S=\sqrt{1+a^2}>1$ より
$$\frac{r}{a}=\frac{S}{1+S}>\frac12,$$
したがって $r>a/2$ である。

(3) $a=\sqrt3$ のとき $S=2$、$r=2\sqrt3/3$ である。中心の $y$ 座標を $k$ とすると、接線条件から $k=\log a+a(a-r)=1+\log\sqrt3$ であり、円の下半分は
$$g(x)=k-\sqrt{r^2-(x-r)^2}\qquad(0\leqq x\leqq 2r)$$
と表せる。$\log3=\int_1^3\frac{dt}{t}>\frac12+\frac13=\frac56$ より $k-r>\frac{17}{12}-\frac{2\sqrt3}{3}>0$ である（最後の不等号は $17^2>192$ による）。したがってこの円弧は $x$ 軸より上にある。また $g(a)=\log a$、$g'(a)=1/a$ であり、$h(x)=g(x)-\log x$ とおけば
$$h''(x)=\frac{r^2}{\bigl(r^2-(x-r)^2\bigr)^{3/2}}+\frac1{x^2}>0.$$
ゆえに $h'(a)=h(a)=0$ から $h(x)>0$（$1\leqq x<a$）。$0<x\leqq1$ では $\log x\leqq0<g(x)$ だから、求める領域の面積は
$$A=\int_0^a g(x)\,dx-\int_1^a \log x\,dx =ak-J-(a\log a-a+1),$$
ただし $J=\int_0^a\sqrt{r^2-(x-r)^2}\,dx$ である。$a-r=r/2$ なので、半円の中心を原点に移したとき、$J$ は中心角 $2\pi/3$ の扇形と、底辺 $r/2$・高さ $\sqrt3r/2$ の直角三角形の面積の和になる。したがって
$$J=\frac12r^2\cdot\frac{2\pi}{3}+\frac12\cdot\frac r2\cdot\frac{\sqrt3r}{2} =\frac{\pi r^2}{3}+\frac{\sqrt3r^2}{8} =\frac{4\pi}{9}+\frac{\sqrt3}{6}.$$
さらに $k=1+\log a$ より
$$A=2a-1-J=\boxed{\frac{11\sqrt3}{6}-1-\frac{4\pi}{9}}.$$