3千葉大学 2025年 数学 第3問解答・解説

三角形 $\mathrm{ABC}$ は正三角形で、重心（内心）が原点、内接円は $x^{2}+y^{2}=1$ である。原点を始点とする位置ベクトルで $\mathrm{D},\,\mathrm{E}$ を表すと、$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$ が使える。

$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}=2\sqrt{3}$ より三角形 $\mathrm{ABC}$ は正三角形で、重心は原点である。内心も原点で、内接円の半径は原点と直線 $y=-1$ の距離 1 だから、内接円は $x^{2}+y^{2}=1$ である。

原点を始点とする $\mathrm{A},\,\mathrm{B},\,\mathrm{C},\,\mathrm{P}$ の位置ベクトルを $\vec{a},\,\vec{b},\,\vec{c},\,\vec{p}$ とすると、$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$、$|\vec{p}|=1$、$|\vec{c}|^{2}=4$ である。

条件より、$\mathrm{D},\,\mathrm{E}$ の位置ベクトルは
$$\vec{d}=\vec{a}+\vec{b}-\vec{p},\qquad \vec{e}=\vec{c}-\vec{p}.$$

(1)

$\overrightarrow{\mathrm{PD}}=\vec{a}+\vec{b}-2\vec{p}=-\vec{c}-2\vec{p}$、$\overrightarrow{\mathrm{PE}}=\vec{c}-2\vec{p}$ だから
$$\overrightarrow{\mathrm{PD}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PE}}=-(\vec{c}+2\vec{p})\cdot(\vec{c}-2\vec{p})=-|\vec{c}|^{2}+4|\vec{p}|^{2}=-4+4=0.$$
これは $\mathrm{P}$ の位置によらず一定で、値は $0$ である。

(2)

$$\overrightarrow{\mathrm{OM}}=\dfrac{\vec{d}+\vec{e}}{2}=\dfrac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}-2\vec{p}}{2}=-\vec{p}.$$
$\mathrm{M}$ は $\mathrm{P}$ を原点に関して対称に移した点である。$\mathrm{P}$ が円 $x^{2}+y^{2}=1$ を 1 周すると、$\mathrm{M}$ も同じ円を 1 周する。

よって $\mathrm{M}$ の軌跡は円 $x^{2}+y^{2}=1$（三角形 $\mathrm{ABC}$ の内接円）である。