8千葉大学 2025年 数学 第8問解答・解説

(1)
$\mathrm{PQRS}$ は反時計回りなので、中心 T のまわりに P を $90^{\circ}$ 回転させると Q に移る。$i$ は $90^{\circ}$ の回転を表すから
$$q-t=i(p-t)$$
が成り立つ。整理すると $q-ip=(1-i)t$ となるので、$1-i$ で割る。分母と分子に $1+i$ を掛けると $(1-i)(1+i)=2$ より
$$t=\dfrac{q-ip}{1-i}=\dfrac{(1+i)(q-ip)}{2}=\dfrac{(1-i)p+(1+i)q}{2}$$
となる。これは $t=\dfrac{p+q}{2}+\dfrac{q-p}{2}i$ と同じ式である。

(2)
四角形 ABCD は凸なので、頂点を反時計回りに A, B, C, D の順にとってよい。（時計回りのときは、以下の式で i を −i に置き換えて同じように進めると、$Y-W=-i(X-Z)$ となり、結論は同じである。）
辺 AB の外側の正方形の中心 X は、線分 AB の中点から、AB に垂直で外側を向くベクトル $-\dfrac{i(\beta-\alpha)}{2}$ だけ離れている。同様に考えて
$$X=\dfrac{\alpha+\beta}{2}-\dfrac{i(\beta-\alpha)}{2},\quad Y=\dfrac{\beta+\gamma}{2}-\dfrac{i(\gamma-\beta)}{2}$$
$$Z=\dfrac{\gamma+\delta}{2}-\dfrac{i(\delta-\gamma)}{2},\quad W=\dfrac{\delta+\alpha}{2}-\dfrac{i(\alpha-\delta)}{2}$$
である。$s=(\alpha+\beta)-(\gamma+\delta)$、$u=(\beta+\gamma)-(\delta+\alpha)$ とおくと、$(\beta-\alpha)-(\delta-\gamma)=u$、$(\gamma-\beta)-(\alpha-\delta)=-s$ なので
$$X-Z=\dfrac{s-iu}{2},\qquad Y-W=\dfrac{u+is}{2}$$
となる。したがって
$$Y-W=\dfrac{i(s-iu)}{2}=i(X-Z)$$
である。よって $|Y-W|=|X-Z|$ より $\mathrm{YW}=\mathrm{XZ}$ である。また $Y-W$ は $X-Z$ を $i$ 倍したものなので、直線 XZ と直線 YW は直交する。

(3)
線分 XZ と線分 YW の中点が一致するとき、$\dfrac{X+Z}{2}=\dfrac{Y+W}{2}$、すなわち $X+Z=Y+W$ である。(2) の式から、$X+Z$ と $Y+W$ の実部はどちらも $\dfrac{\alpha+\beta+\gamma+\delta}{2}$ で等しい。虚部の差を計算すると
$$(X+Z)-(Y+W)=i(\alpha+\gamma-\beta-\delta)$$
となる。よって中点が一致する条件は $\alpha+\gamma=\beta+\delta$、すなわち $\dfrac{\alpha+\gamma}{2}=\dfrac{\beta+\delta}{2}$ である。
これは対角線 AC と BD の中点が一致することを表すので、四角形 ABCD の 2 本の対角線は互いの中点で交わる。対角線が互いを二等分する四角形は平行四辺形なので、四角形 ABCD は平行四辺形である。