5千葉大学 2025年 数学 第5問解答・解説

各回の出目による移動を $X$（$x$ を1増加）、$U$（$y$ を1増加）、$D$（$y$ を1減少）と分類する。それぞれ2つの目に対応するから確率は $1/3$。6回は独立なので、各長さ6の分類列は同様に確からしく、その総数は $3^6=729$ である。

（1）$x_6=0$ となるには $X$ が一度も出ず、さらに $y_6=0$ となるには $U,D$ がそれぞれ3回出る必要がある。$U$ の位置を選べば列は定まるので、該当列は
$${}_{6}\mathrm{C}_{3}=20$$
通り。したがって求める確率は $20/729$。

（2）$y_6=0$ となるには $U,D$ の回数が等しい。両者がそれぞれ $k$ 回なら残りは $X$ で、$0\leqq k\leqq3$。各場合の列数は $U$ の位置、残った場所から $D$ の位置を選んで
$${}_{6}\mathrm{C}_{k}{}_{6-k}\mathrm{C}_{k}$$
となる。よって列数の合計と確率は
$$\sum_{k=0}^{3}{}_{6}\mathrm{C}_{k}{}_{6-k}\mathrm{C}_{k} =1+30+90+20=141, \qquad \frac{141}{729}=\frac{47}{243}.$$

（3）$X$ は $y$ 座標を変えないので、$U,D$ だけを抜き出した列が、各段階で負にならず、最後に0へ戻ることが条件となる。$U,D$ が各 $k$ 回のとき、そのような列は $k=0,1,2,3$ に対してそれぞれ1,1,2,5通りである。例えば $k=2$ では $UUDD,UDUD$、$k=3$ では
$$UUUDDD,\ UUDUDD,\ UUDDUD,\ UDUUDD,\ UDUDUD$$
の5通りである。各縦移動列の位置を6か所から選ぶので、全列数は
$${}_{6}\mathrm{C}_{0}\cdot1+{}_{6}\mathrm{C}_{2}\cdot1+{}_{6}\mathrm{C}_{4}\cdot2+{}_{6}\mathrm{C}_{6}\cdot5 =1+15+30+5=51.$$
したがって確率は $51/729=17/243$。

各回をX（xを+1）、U（yを+1）、D（yを−1）に分類する。確率は各1/3で分類列は同様に確からしい。(1)(2)は終点条件ごとに数え、(3)はU,Dだけを取り出して非負の平衡列を数える。