9千葉大学 2025年 数学 第9問解答・解説

グラフが両端を結ぶ線分より下にある性質を用い、台形・中点の積分評価を行い、導関数の増減とf''の減少で残りの不等式を示す。

以下、$h=b-a>0,\ m=(a+b)/2$ とおく。
（1）範囲 $a\leqq x\leqq b$ の両端を結ぶ直線を $L(x)=\frac{b-x}{h}f(a)+\frac{x-a}{h}f(b)$ とする。$L(a)-f(a)=L(b)-f(b)=0$ かつ $(L-f)''=-f''<0$ なので、$a<x<b$ で $L(x)-f(x)>0$。また $\int_a^bL(x)\,dx=\frac h2(f(a)+f(b))$ より $F=\int_a^b(L(x)-f(x))\,dx>0$。
（2）右辺を $R=\frac h2\{f(a)-2f(m)+f(b)\}$ とおくと、$R-F=\int_a^b f(x)\,dx-hf(m)$。ここで $\phi(t)=f(m+t)+f(m-t)-2f(m)$ とおけば、$\phi(0)=\phi'(0)=0$、$\phi''(t)=f''(m+t)+f''(m-t)>0$ だから $t>0$ で $\phi(t)>0$。したがって $R-F=\int_0^{h/2}\phi(t)\,dt>0$。
（3）$x>0$ では $f'(x)=f'(0)+\int_0^x f''(t)\,dt>0$ なので $f(m)-f(a)>0$。また $x_1<x_2$ ならば $f'(x_1)<f'(x_2)$ が成り立つ。よって $D=f(a)-2f(m)+f(b)=\{f(b)-f(m)\}-\{f(m)-f(a)\}<f(b)-f(m)=\int_m^b f'(x)\,dx<\frac h2f'(b)$。
（4）$f'''<0$ から $x_1<x_2$ ならば $f''(x_1)>f''(x_2)$ が成り立つ。$D$ は
$$D=\int_0^{h/2}\{f'(a+t+h/2)-f'(a+t)\}\,dt=\int_0^{h/2}\int_{a+t}^{a+t+h/2}f''(x)\,dx\,dt<\frac{h^2}{4}f''(a).$$
（2）で示した $F<\frac h2D$ と合わせると、$$F<\frac{h^3}{8}f''(a)<\frac{h^3}{4}f''(a),$$ 後半は $f''(a)>0$ による。これで（4）が従う。