3東京医科大学 2024年 数学 第3問解答・解説

(1) 平面 $2x+2y+z=3$ の法線ベクトルは係数を並べた $(2,2,1)$ である。

(2) 中心 $A=(8,8,7)$ から平面までの距離が半径である。法線ベクトルの長さは $3$ であり、平面左辺に $A$ を代入した値と右辺との差は $39-3=36$ だから、$r=36/3=12$。接点は $A$ から法線方向に進んだ点である。$H=A-t(2,2,1)$ とおいて平面上にある条件を使うと
$$2(8-2t)+2(8-2t)+(7-t)=3,$$
ゆえに $39-9t=3$、$t=4$ である。したがって $H=(8,8,7)-4(2,2,1)=(0,0,3)$。距離 $AH=\sqrt{8^2+8^2+4^2}=12$ となり、半径とも一致する。

(3) 2中心間の距離の2乗は
$$AB^2=(8-4)^2+(8-2)^2+(7-1)^2=16+36+36=88.$$
両球の半径が等しいので、共通点は $A,B$ から等距離にあり、その集合を含む平面は $AB$ の垂直二等分面である。共通円の中心はこの平面と $AB$ の交点、すなわち中点だから、
$$Q=\frac{A+B}{2}=(6,5,4).$$
共通円上の点を $X$ とすると、$AQ=AB/2$ であり、$QX\perp AQ$。よって直角三角形 $AQX$ から
$$r'^2=QX^2=AX^2-AQ^2=12^2-\frac{88}{4}=144-22=122,$$
したがって $r'=\sqrt{122}$。

(4) $OH$ は長さ3の $z$ 軸上の線分であり、点 $Q=(6,5,4)$ から直線 $OH$ までの距離は $\sqrt{6^2+5^2}=\sqrt{61}$ である。したがって
$$[OHQ]=\frac12\cdot3\cdot\sqrt{61}=\frac{3\sqrt{61}}2.$$