1徳島大学 2025年 数学 第1問解答・解説

空間座標と位置ベクトルで(1)を求め、(2)では平面上の長方形の座標範囲に交点Sを入れる。(3)ではtを固定したときのRの線分を調べて軌跡を台形として表し、その底辺と高さから面積を計算する。

P=$\left(\frac34,0,0\right)$,　 Q=(0,1,s) であるから、$\overrightarrow{PQ}$=$\left(-\frac34,1,s\right)$.
$\overrightarrow{OR}$=$\overrightarrow{OP}$+t$\overrightarrow{PQ}$=$\left(\frac{3(1-t)}4,t,st\right)$.
平面 BCE の方程式は y=1 である。直線 OR 上の点は $\lambda$$\overrightarrow{OR}$ と表せる。t>0 より、y 座標が 1 となるのは $\lambda$=$\frac1t$ のときだから、
$\overrightarrow{OS}$=$\frac1t$$\overrightarrow{OR}$=$\left(\frac{3(1-t)}{4t},1,s\right)$.
(2) 平面 BCE 上で B,C,D,E はそれぞれ (x,z)=(0,0),(1,0),(1,2),(0,2) に対応するので、四角形 BCDE は $0\leqq x\leqq 1,\ 0\leqq z\leqq 2$ の長方形である。S の座標から 0$\leqq$ s$\leqq$2 はもとの条件のままであり、
0$\leqq$$\frac{3(1-t)}{4t}$$\leqq$1.
ここで 0<t$\leqq$1 なので左側の不等式は成り立つ。右側は
3(1-t)$\leqq$4t$\quad\text{すなわち}\quad$ t$\geqq$$\frac37$ となる。したがって条件は 0$\leqq$ s$\leqq$2,\ $\frac37$$\leqq$ t$\leqq$1 である。
(3) B=(0,1,0),E=(0,1,2) とおく。t を固定して s を 0 から 2 まで動かすと、R は (1-t)P+tB から (1-t)P+tE までの線分を動く。t=1 ではこの線分が BE、t=$\frac37$ では
U=$\frac47$P+$\frac37$B=$\left(\frac37,\frac37,0\right)$,　 V=$\frac47$P+$\frac37$E=$\left(\frac37,\frac37,\frac67\right)$
を両端とする線分 UV である。中間の t に対しても線分の両端は BU および EV 上を動くから、軌跡は台形 BEVU 全体である。BE$/\!/$ UV で、
|BE|=2,　 |UV|=$\frac67$,　 |BU|=$\frac47$|BP|=$\frac47$$\sqrt{\left(\frac34\right)^2+1}$=$\frac57$.
$\overrightarrow{BU}$ は xy 平面に平行で、BE は z 軸に平行だから BU$\perp$ BE。よって台形の高さは $\frac57$ であり、面積は
$\frac{|BE|+|UV|}{2}$|BU|=$\frac{2+\frac67}{2}$$\cdot$$\frac57$=$\boxed{\frac{50}{49}}$.