III愛知医科大学 2024年 数学 第III問解答・解説

第III問

整数 $x$ が $-\sqrt{k}\leqq x\leqq\sqrt{k}$ を満たすことは
$|x|\leqq[\sqrt{k}]$ と同値である。従って
$$a_k=2[\sqrt{k}]+1.$$

1) $k=1,2,3$ では $1\leqq\sqrt{k}<2$ なので $a_k=3$、また $k=4$ では $a_4=5$。よって
$$S_4=3+3+3+5=14.$$

2) $m=[\sqrt{k}]$ とおけば $m\leqq\sqrt{k}<m+1$ であり、$a_k=2m+1$ である。したがって
$$2\sqrt{k}-1<2m+1=a_k$$
（$\sqrt{k}<m+1$ による）かつ
$$a_k=2m+1\leqq2\sqrt{k}+1$$
（$m\leqq\sqrt{k}$ による）。よってすべての正整数 $k$ について
$$2\sqrt{k}-1<a_k\leqq2\sqrt{k}+1.$$

3) 上の不等式を $k=1,\ldots,n$ で加えると
$$2\sum_{k=1}^n\sqrt{k}-n<S_n \leqq2\sum_{k=1}^n\sqrt{k}+n.$$
関数 $\sqrt{x}$ は $x\geqq0$ で増加するので
$$\int_0^n\sqrt{x}\,dx \leqq\sum_{k=1}^n\sqrt{k} \leqq\int_1^{n+1}\sqrt{x}\,dx.$$
従って
$$\frac43n^{3/2}-n<S_n \leqq\frac43\bigl((n+1)^{3/2}-1\bigr)+n.$$
両辺を $n^{3/2}$ で割る。左端は $4/3-1/\sqrt n\to4/3$、右端は
$$\frac43\left(\left(1+\frac1n\right)^{3/2}-\frac1{n^{3/2}}\right)+\frac1{\sqrt n} \longrightarrow\frac43.$$
はさみうちの原理より
$$\lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{n^{3/2}}=\frac43.$$

$$\boxed{S_4=14,\qquad 2\sqrt{k}-1<a_k\leqq2\sqrt{k}+1,\qquad \lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{n^{3/2}}=\frac43}$$