1昭和医科大学 2024年 数学 第1問解答・解説

$n$ は正の整数とする。次の各問いに答えよ。ただし、答えは結果のみを解答欄に記入せよ。

(1) 2次方程式 $x^{2}-x-1=0$ の2解を $\alpha,\beta\ (\alpha<\beta)$ とし、$a_{n}=\alpha^{n}+\beta^{n}$ で定まる数列 $\{a_{n}\}$ を考える。次の各問いに答えよ。

(1-1) $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$ の値を求めよ。

(1-2) $n\geqq 3$ とする。一般項 $a_{n}$ を $a_{n-1}$ と $a_{n-2}$ を用いて表せ。

(1-3) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}$ を求めよ。

(2) $n$ を3以上の整数、$1\leqq j\leqq n,\ 1\leqq k\leqq n$ を満たす整数 $j,k$ の組 $(j,k)$ 全体の集合を $I$ とする。次の各問いに答えよ。ただし、結果はできる限り因数分解した $n$ の式で答えよ。

(2-1) 組 $(j,k)$ が $I$ 全体を動くとき、積 $jk$ の総和 $S_{1}$ を求めよ。

(2-2) 組 $(j,k)$ が $j<k$ を満たして $I$ の中を動くとき、積 $jk$ の総和 $S_{2}$ を求めよ。

(2-3) 組 $(j,k)$ が $j<k-1$ を満たして $I$ の中を動くとき、積 $jk$ の総和 $S_{3}$ を求めよ。