III慶應義塾大学 2024年 数学 第III問解答・解説

(1) 定義域では
$$f'(x)=-\frac{3x^2-1}{3x^2(x^2-1)^2}.$$
したがって臨界点は $x=\pm\frac1{\sqrt3}$ である。$x=-\frac1{\sqrt3}$ の前後では導関数の符号が負から正へ変わるので極小点、$x=\frac1{\sqrt3}$ の前後では正から負へ変わるので極大点となる。代入して
$$f\left(-\frac1{\sqrt3}\right)=\frac{\sqrt3}{2},\qquad f\left(\frac1{\sqrt3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}.$$

(2) 垂直漸近線は $x=-1,0,1$、水平漸近線は $y=0$ である。符号は $x<-1$ と $0<x<1$ で負、$-1<x<0$ と $x>1$ で正であり、曲線は $x$ 軸と交わらない。導関数の符号と端での極限を合わせると、$x<-1$ では $0$ の下から $-\infty$ へ減少する。$-1<x<0$ では $+\infty$ から極小値 $\frac{\sqrt3}{2}$ まで減少し、その後 $+\infty$ へ増加する。$0<x<1$ では $-\infty$ から極大値 $-\frac{\sqrt3}{2}$ まで増加し、その後 $-\infty$ へ減少する。$x>1$ では $+\infty$ から $0$ の上へ減少する。この4区間の枝を漸近線に近づけて描けば概形となる。

(3) 交点条件は
$$mx=\frac1{3x(x^2-1)}\quad\text{すなわち}\quad 3m u(u-1)=1,\qquad u=x^2>0,\ u\ne1.$$
$m>0$ なら $u>1$ となり、正の解 $u$ は1つなので交点は2点である。$m=0$ では交点がない。$m<0$ なら $0<u<1$ で、$u$ は
$$u^2-u-\frac1{3m}=0$$
を満たす。判別式は $1+\frac4{3m}$ だから、異なる2つの解が存在する条件は $m<-\frac43$ である。このとき2解はともに $0<u<1$ を満たし、それぞれから $x=\pm\sqrt u$ が得られるため、交点はちょうど4点となる。$m=-\frac43$ では重解となり交点は2点だけなので、求める範囲は $m<-\frac43$ である。

(4) 分母を $3x(x-1)(x+1)$ とそろえ、$x=1,0,-1$ を順に代入すると
$$2a=\frac13,\qquad -b=\frac13,\qquad 2c=\frac13.$$
よって $a=\frac16,\ b=-\frac13,\ c=\frac16$ であり、実際
$$f(x)=\frac16\left(\frac1{x-1}-\frac2x+\frac1{x+1}\right).$$

(5) 第1象限で $f(x)>0$ となるのは $x>1$ なので $r=x(m)^2>1$ とおく。交点条件から
$$m=\frac1{3r(r-1)},\qquad r=\frac{1+\sqrt{1+4/(3m)}}2.$$
部分分数分解から $x>1$ での原始関数は
$$F(x)=\frac16\log\left(1-\frac1{x^2}\right).$$
ゆえに
$$A(m)=-F(x(m))=\frac16\log\frac{r}{r-1} =\frac16\log\frac{1+\sqrt{1+4/(3m)}}{\sqrt{1+4/(3m)}-1}.$$
また $P=(x(m),mx(m))$、$Q=(x(m),0)$ より
$$B(m)=\frac{m x(m)^2}{2}=\frac{mr}{2}=\frac1{6(r-1)}.$$
したがって
$$\frac{A(m)}{B(m)}=(r-1)\log\left(1+\frac1{r-1}\right).$$
$m\to+0$ で $r\to\infty$。$z=\frac1{r-1}\to+0$ とおけば、この比は $\frac{\log(1+z)}z$ である。$z>0$ では
$$\frac{z}{1+z}=\int_0^z\frac{dt}{1+z}\leqq\int_0^z\frac{dt}{1+t}=\log(1+z)\leqq z,$$
ゆえに両端を $z$ で割ってはさみうちの原理を用いると極限は $1$ である。