1東海大学 2023年 数学 第1問解答・解説

順列、指数の置換と微分、三角比と角の二等分線、定積分、三角関数の関係式、整数の因数分解、対数の性質と二次方程式を用いて求める。

(1)

同じ文字を含む順列なので、8 個の位置から 2 個を選んで文字 $b$ を置き、残る 6 個の位置から 1 個を選んで文字 $c$ を置けばよい。したがって
$$\dfrac{8!}{5!\,2!}={}_{8}\mathrm{C}_{2}\,{}_{6}\mathrm{C}_{1}=168.$$

(2)

$u=2^{x}$ とおくと $u>0$ であり、$u$ は $x$ とともに増加する。また
$$y=8^{x}-3\cdot 2^{x+3}+2=u^{3}-24u+2.$$
これを $u$ で微分すると $3u^{2}-24=3(u^{2}-8)$ である。よって $0<u<2\sqrt{2}$ で減少し、$u>2\sqrt{2}$ で増加するから、最小となるのは $u=2\sqrt{2}=2^{\dfrac{3}{2}}$ のときである。したがって $x=\dfrac{3}{2}$ である。

(3)

余弦定理より
$$\cos A=\dfrac{8^{2}+7^{2}-5^{2}}{2\cdot 8\cdot 7}=\dfrac{11}{14},\qquad \sin A=\dfrac{5\sqrt{3}}{14}.$$
したがって三角形 ABC の面積は $\dfrac{1}{2}\cdot 8\cdot 7\sin A=10\sqrt{3}$ である。内接円の半径を $r$ とすると、三角形の面積を 3 つの小三角形に分けて $10\sqrt{3}=\dfrac{1}{2}r(8+5+7)$ より $r=\sqrt{3}$ である。また、C から AB への高さを $h$ とすると $h=\dfrac{2\cdot 10\sqrt{3}}{8}=\dfrac{5\sqrt{3}}{2}$ である。角の二等分線の定理より $\mathrm{AD}:\mathrm{DB}=\mathrm{AC}:\mathrm{CB}=7:5$ なので $\dfrac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}}=\dfrac{7}{12}$ である。I から AB までの距離は $r$ なので、
$$\dfrac{\triangle\mathrm{ADI}}{\triangle\mathrm{ABC}}=\dfrac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}}\cdot\dfrac{r}{h}=\dfrac{7}{12}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{\dfrac{5\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{7}{12}\cdot\dfrac{2}{5}=\dfrac{7}{30}.$$

(4)

被積分関数を展開し、原始関数を用いて計算すると
$$\displaystyle\int_{-1}^{2}(x+2)(x-3)\,dx=\left[\dfrac{x^{3}}{3}-\dfrac{x^{2}}{2}-6x\right]_{-1}^{2}=-\dfrac{34}{3}-\dfrac{31}{6}=-\dfrac{33}{2}.$$

(5)

$A,\ B,\ C,\ D$ はすべて鋭角であるから、各三角比は正である。条件から $\sin D=\dfrac{\sin B}{\sin A}$ であり、さらに
$$\sin^{2}A-\sin^{2}B=\cos^{2}B-\cos^{2}A=\cos^{2}B\sin^{2}C$$
が成り立つ。よって $\cos D=\dfrac{\cos B\sin C}{\sin A}$ である。したがって
$$\sin C\tan D=\sin C\cdot\dfrac{\sin D}{\cos D}=\tan B.$$
また $\cos A=\cos B\cos C$ を用いると
$$\tan A\cos D=\dfrac{\sin A}{\cos A}\cdot\dfrac{\cos B\sin C}{\sin A}=\dfrac{\cos B\sin C}{\cos B\cos C}=\tan C.$$

(6)

$m=\sqrt{n^{2}+63}$ とおくと、$m,\ n$ は自然数で $m>n$ であり、
$$(m-n)(m+n)=m^{2}-n^{2}=63.$$
$m-n<m+n$ となる正の因数の組は $(1,63),\ (3,21),\ (7,9)$ であり、それぞれ $n=\dfrac{(m+n)-(m-n)}{2}$ は $31,\ 9,\ 1$ となる。いずれも条件を満たすので、該当する $n$ は 3 個である。

(7)

真数はすべて正でなければならないので、$-1<x<1$ である。また $\log_{\dfrac{1}{2023}}t=-\log_{2023}t$ だから、方程式は
$$\log_{2023}\dfrac{11-2x}{1-x^{2}}=\log_{2023}\dfrac{x+2}{(x+1)^{2}}$$
となる。底 $2023$ は 1 より大きいので、真数どうしを等しくできる。定義域内で $x+1>0$ だから $x+1$ で約して
$$(11-2x)(x+1)=(1-x)(x+2),\qquad x^{2}-10x-9=0.$$
解は $x=5\pm\sqrt{34}$ であり、$-1<x<1$ を満たすのは $x=5-\sqrt{34}$ だけである。